Bigyanbook - Class 11 Math (WBCHSE)
Complex Numbers and Quadratic Equations
১. x2 + 1 = 0 সমীকরণটির সমাধান নিচের কোনটি?
A) 1, -1
B) i, -i
C) 0
D) সমাধান সম্ভব নয়
উত্তর: B) i, -i
ব্যাখ্যা: x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = -1। বাস্তব সংখ্যার সেটে এর কোনো সমাধান নেই। তাই কাল্পনিক সংখ্যা i এর অবতারণা করা হয়, যেখানে i = √-1। সুতরাং, x = ±√-1 = ±i।
২. i23 এর মান কত?
A) 1
B) -1
C) i
D) -i
উত্তর: D) -i
ব্যাখ্যা: আমরা জানি i4 = 1। i23 কে লেখা যায় i20 × i3 = (i4)5 × i3 = 15 × (-i) = -i।
৩. z = 3 + 4i জটিল সংখ্যাটির মডিউলাস (Modulus) কত?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
উত্তর: C) 5
ব্যাখ্যা: কোনো জটিল সংখ্যা z = a + ib হলে, তার মডিউলাস |z| = √(a2 + b2)। এখানে a = 3, b = 4। সুতরাং |z| = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5।
৪. z = 1 + i এর মুখ্য আর্গুমেন্ট (Principal Argument) কত?
A) π/4
B) π/3
C) π/2
D) π/6
উত্তর: A) π/4
ব্যাখ্যা: z = 1 + i সংখ্যাটি আর্গ্যান্ড তলের প্রথম পাদে (First Quadrant) অবস্থিত। এখানে x = 1, y = 1। সুতরাং আর্গুমেন্ট θ = tan-1(y/x) = tan-1(1/1) = π/4।
৫. যদি z = -1 + i√3 হয়, তবে এর আর্গুমেন্ট কত?
A) π/3
B) 2π/3
C) -π/3
D) -2π/3
উত্তর: B) 2π/3
ব্যাখ্যা: এখানে x = -1 (ঋণাত্মক) এবং y = √3 (ধনাত্মক), তাই এটি দ্বিতীয় পাদে (Second Quadrant) অবস্থিত। দ্বিতীয় পাদের ক্ষেত্রে আর্গুমেন্ট θ = π - tan-1(|y/x|) = π - tan-1(√3/1) = π - π/3 = 2π/3।
৬. (1 + i) / (1 - i) এর মান কত?
A) 1
B) -1
C) i
D) -i
উত্তর: C) i
ব্যাখ্যা: হর-এর অনুবন্ধী (1 + i) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করলে পাই: (1+i)2 / (12 - i2) = (1 + 2i + i2) / (1 - (-1)) = (1 + 2i - 1) / 2 = 2i / 2 = i।
৭. z = 4 - 3i হলে, z এবং এর অনুবন্ধী (Conjugate) এর গুণফল (z.z̄) কত?
A) 25
B) 7
C) 16 - 9i
D) 1
উত্তর: A) 25
ব্যাখ্যা: z = 4 - 3i হলে, এর অনুবন্ধী z̄ = 4 + 3i। আমরা জানি z.z̄ = |z|2 = a2 + b2। সুতরাং, 42 + (-3)2 = 16 + 9 = 25।
৮. in + in+1 + in+2 + in+3 এর মান কত? (যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা)
A) 1
B) i
C) 0
D) -1
উত্তর: C) 0
ব্যাখ্যা: in কমন নিলে পাই: in(1 + i + i2 + i3) = in(1 + i - 1 - i) = in(0) = 0। i এর পরপর চারটি ঘাতের যোগফল সবসময় 0 হয়।
৯. x2 + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলি হলো:
A) (-1 ± i√3) / 2
B) (1 ± i√3) / 2
C) ± i
D) (-1 ± i) / 2
উত্তর: A) (-1 ± i√3) / 2
ব্যাখ্যা: শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুযায়ী, x = [-b ± √(b2 - 4ac)] / 2a। এখানে a=1, b=1, c=1। সুতরাং x = [-1 ± √(1 - 4)] / 2 = [-1 ± √(-3)] / 2 = (-1 ± i√3) / 2। এগুলি মূলত 1 এর অবাস্তব ঘনমূল (ω এবং ω2)।
১০. z = -i এর পোলার আকার (Polar Representation) কোনটি?
A) cos(π/2) + i sin(π/2)
B) cos(-π/2) + i sin(-π/2)
C) cos(π) + i sin(π)
D) cos(0) + i sin(0)
উত্তর: B) cos(-π/2) + i sin(-π/2)
ব্যাখ্যা: z = 0 - i। এর মডিউলাস r = √(02 + (-1)2) = 1। বিন্দুটি (0, -1) যা নেগেটিভ Y-অক্ষে অবস্থিত, তাই আর্গুমেন্ট θ = -π/2। পোলার আকার: r(cosθ + i sinθ) = 1(cos(-π/2) + i sin(-π/2))।
১১. x + iy = (2 + i)(2 - i) হলে x এবং y এর মান কত?
A) x = 4, y = 1
B) x = 3, y = 0
C) x = 5, y = 0
D) x = 5, y = 1
উত্তর: C) x = 5, y = 0
ব্যাখ্যা: (2 + i)(2 - i) = 22 - i2 = 4 - (-1) = 5। অতএব, x + iy = 5 + 0i। তুলনা করে পাই x = 5 এবং y = 0।
১২. |z1| = 3 এবং |z2| = 4 হলে, |z1z2| এর মান কত?
A) 7
B) 12
C) 1
D) 25
উত্তর: B) 12
ব্যাখ্যা: জটিল সংখ্যার মডিউলাসের ধর্ম অনুযায়ী, দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডিউলাস তাদের মডিউলাসের গুণফলের সমান। অর্থাৎ |z1z2| = |z1| × |z2| = 3 × 4 = 12।
১৩. 3 - 4i এর গুণাত্মক বিপরীত (Multiplicative Inverse) কোনটি?
A) 3 + 4i
B) (3/25) - (4/25)i
C) (3/25) + (4/25)i
D) -3 + 4i
উত্তর: C) (3/25) + (4/25)i
ব্যাখ্যা: z এর গুণাত্মক বিপরীত = z̄ / |z|2। এখানে z = 3 - 4i, তাই z̄ = 3 + 4i এবং |z|2 = 32 + (-4)2 = 25। সুতরাং গুণাত্মক বিপরীত = (3 + 4i) / 25 = (3/25) + (4/25)i।
১৪. 2x2 + x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (Discriminant) এর মান কত?
A) 7
B) -7
C) 8
D) -8
উত্তর: B) -7
ব্যাখ্যা: ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের নিরূপক D = b2 - 4ac। এখানে a = 2, b = 1, c = 1। সুতরাং D = 12 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7। যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, এর বীজগুলি কাল্পনিক হবে।
১৫. আর্গ্যান্ড তলে (Argand Plane) 5 + 12i বিন্দুটির মূলবিন্দু (Origin) থেকে দূরত্ব কত?
A) 17
B) 7
C) 13
D) 25
উত্তর: C) 13
ব্যাখ্যা: আর্গ্যান্ড তলে মূলবিন্দু থেকে কোনো জটিল সংখ্যা z = x + iy এর দূরত্ব হলো তার মডিউলাস |z|। এখানে z = 5 + 12i। দূরত্ব = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13।
আরো ৪০ টি প্রশ্ন উত্তর পাও!
মাত্র ২৯ টাকায় ৪০ টি প্রশ্ন উত্তরের PDF।
WhatsApp এ মেসেজ করোনাম্বার: 7439455393
Prepared by Bigyanbook
