ত্রিকোণমিতি শর্টকাট ট্রিক্স স্পেশাল

এই পেজে বা সাইটে কিছু খুঁজুন

ত্রিকোণমিতি শর্টকাট ট্রিকস (Advanced): SSC, BANK, RAIL পরীক্ষার সেরা প্রস্তুতি

নমস্কার বন্ধুরা! সরকারি চাকরির প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষা যেমন SSC CGL, CHSL, BANK, IBPS, RRB ইত্যাদিতে গণিতের ত্রিকোণমিতি (Trigonometry) অংশটি অনেকের কাছেই একটি আতঙ্কের নাম। কিন্তু সঠিক পদ্ধতি এবং কিছু অসাধারণ শর্টকাট ট্রিকস জানা থাকলে এই বিভাগের প্রশ্নগুলোই হয়ে উঠতে পারে আপনার স্কোর বাড়ানোর সেরা সুযোগ। পরীক্ষার হলে সময়ের সঙ্গে পাল্লা দিয়ে জিততে হলে সাধারণ পদ্ধতির বাইরে ভাবাটা খুব জরুরি।

আজকের এই আর্টিকেলে আমরা বেসিক থেকে শুরু করে অ্যাডভান্সড লেভেলের কিছু সেরা ত্রিকোণমিতিক শর্টকাট শিখব যা আপনার প্রস্তুতিকে এক নতুন মাত্রা দেবে।

সূচিপত্র (Table of Contents)

• ১. বেসিক ধারণা (পুনরায় ঝালিয়ে নেওয়া)
• ২. ট্রিক-১: পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট (Pythagorean Triplets) এর জাদু
• ৩. ট্রিক-২: ভ্যালু পুটিং মেথড (Value Putting Method)
• ৪. ট্রিক-৩: ফর্মুলা-ভিত্তিক অব্যর্থ শর্টকাট
  • Type-A: secθ + tanθ = x প্যাটার্ন
  • Type-B: a sinθ + b cosθ = c প্যাটার্ন
  • Type-C: x + 1/x = 2 প্যাটার্ন
  • Type-D: পূরক কোণের সম্পর্ক (A + B = 90°)
  • Type-E: যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componentendo & Dividendo)
  • Type-F: sin⁴θ + cos⁴θ এবং sin⁶θ + cos⁶θ প্যাটার্ন
• ৫. ট্রিক-৪: সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় (Maximum & Minimum Value)
• ৬. এক নজরে সব ট্রিকস (Revision Table)

---

১. বেসিক ধারণা (পুনরায় ঝালিয়ে নেওয়া)

যেকোনো শর্টকাট প্রয়োগের আগে ভিত্তি মজবুত থাকা চাই। মনে রাখার সহজ উপায়: "পণ্ডিত বদ্রী প্রসাদ, হর হর বোল"।

sinθ = P/H (লম্ব/অতিভুজ)
cosθ = B/H (ভূমি/অতিভুজ)
tanθ = P/B (লম্ব/ভূমি)

এবং এদের অনোন্যক (Reciprocal): cosecθ = H/P, secθ = H/B, cotθ = B/P.

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অভেদাবলী (Identity):

${\displaystyle {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1}$

---

২. ট্রিক-১: পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট (Pythagorean Triplets) এর জাদু

সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর পূর্ণ সংখ্যার সেটকে পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট বলে। যেমন: (3, 4, 5)। এগুলি মুখস্থ থাকলে লম্ব, ভূমি বা অতিভুজ বের করার জন্য ${\displaystyle P^2+B^2=H^2}$ সূত্র প্রয়োগের প্রয়োজন হয় না।

গুরুত্বপূর্ণ ট্রিপলেট: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (20, 21, 29)।

উদাহরণ: যদি ${\displaystyle \sin \theta =\frac{20}{29}}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta }$ এর মান কত?

সমাধান: এখানে sinθ = P/H = 20/29। আমরা জানি (20, 21, 29) একটি ট্রিপলেট। সুতরাং ভূমি (B) = 21।
এখন, ${\displaystyle \sec \theta =\frac{H}{B}=\frac{29}{21}}$ এবং ${\displaystyle \tan \theta =\frac{P}{B}=\frac{20}{21}}$।
অতএব, ${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta =\frac{29}{21}+\frac{20}{21}=\frac{49}{21}=\frac{7}{3}}$।

---

৩. ট্রিক-২: ভ্যালু পুটিং মেথড (Value Putting Method)

কখন ব্যবহার করবেন: যখন কোনো ত্রিকোণমিতিক রাশির মান নির্ণয় করতে বলা হয় এবং উত্তরটি ধ্রুবক (constant) হয় বা অপশনগুলো সংখ্যায় থাকে।

কীভাবে ব্যবহার করবেন: θ-এর সুবিধাজনক মান (সাধারণত 0°, 30°, 45°, 60°) বসিয়ে রাশির মান নির্ণয় করুন। সাবধানতা: এমন মান বসাবেন না যাতে হর (denominator) শূন্য হয়ে যায় (যেমন, tan90° বা cot0°)।

উদাহরণ: ${\displaystyle \frac{\cot \theta +\mathrm{cosec}\theta -1}{\cot \theta -\mathrm{cosec}\theta +1}}$ এর মান কত?

সমাধান: এখানে θ = 45° বসালে cot45°=1 এবং cosec45°=√2. মান বসিয়ে পাই: ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}}$
করণী নিরসন করলে পাই: ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1}$

---

৪. ট্রিক-৩: ফর্মুলা-ভিত্তিক অব্যর্থ শর্টকাট

কিছু নির্দিষ্ট প্যাটার্নের প্রশ্নের জন্য এই সূত্রগুলি ম্যাজিকের মতো কাজ করে।

Type-A: secθ + tanθ = x প্যাটার্ন

আমরা জানি, ${\displaystyle {\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1}$।
সুতরাং, ${\displaystyle (\sec \theta +\tan \theta )(\sec \theta -\tan \theta )=1}$।

সূত্র: যদি ${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta =x}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \sec \theta -\tan \theta =\frac{1}{x}}$ হবে।
একইভাবে, ${\displaystyle \mathrm{cosec}\theta +\cot \theta =x}$ হলে, ${\displaystyle \mathrm{cosec}\theta -\cot \theta =\frac{1}{x}}$ হবে।

উদাহরণ: যদি ${\displaystyle \mathrm{cosec}\theta +\cot \theta =5}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \sin \theta }$ এর মান কত?

সমাধান: ${\displaystyle \mathrm{cosec}\theta -\cot \theta =\frac{1}{5}}$। দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই,
${\displaystyle 2\mathrm{cosec}\theta =5+\frac{1}{5}=\frac{26}{5}}$
${\displaystyle \mathrm{cosec}\theta =\frac{13}{5}}$। সুতরাং, ${\displaystyle \sin \theta =\frac{5}{13}}$।

Type-B: a sinθ + b cosθ = c প্যাটার্ন

সূত্র: যদি ${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta =c}$ এবং ${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$ (অর্থাৎ a, b, c একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট) হয়, তাহলে:
${\displaystyle \sin \theta =\frac{a}{c}}$, cosθ=bc, এবং ${\displaystyle \tan \theta =\frac{a}{b}}$।

উদাহরণ: যদি ${\displaystyle 7\sin \theta +24\cos \theta =25}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \tan \theta }$ এর মান কত?

সমাধান: এখানে a=7, b=24, c=25। আমরা জানি (7, 24, 25) একটি ট্রিপলেট। সুতরাং, ${\displaystyle \tan \theta =\frac{a}{b}=\frac{7}{24}}$।

Type-C: x + 1/x = 2 প্যাটার্ন

সূত্র: যদি কোনো রাশি এবং তার অনোন্যকের যোগফল 2 হয়, তাহলে ওই রাশির মান 1 হবে।
যদি ${\displaystyle \sin \theta +\mathrm{cosec}\theta =2}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \sin \theta =1}$ (অর্থাৎ θ=90°)।
যদি ${\displaystyle \cos \theta +\sec \theta =2}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \cos \theta =1}$ (অর্থাৎ θ=0°)।
যদি ${\displaystyle \tan \theta +\cot \theta =2}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \tan \theta =1}$ (অর্থাৎ θ=45°)।

উদাহরণ: যদি ${\displaystyle \tan \theta +\cot \theta =2}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle {\tan }^7\theta +{\cot }^7\theta }$ এর মান কত?

সমাধান: এখানে ${\displaystyle \tan \theta =1}$ এবং ${\displaystyle \cot \theta =1}$। সুতরাং, ${\displaystyle {\left(1\right)}^7+{\left(1\right)}^7=1+1=2}$।

Type-D: পূরক কোণের সম্পর্ক (A + B = 90°)

সূত্র: যদি দুটি কোণ A এবং B-এর যোগফল 90° হয়, তাহলে:
1. tanA × tanB = 1
2. cotA × cotB = 1
3. sin²A + sin²B = 1
4. cos²A + cos²B = 1
5. sinA = cosB এবং secA = cosecB

উদাহরণ: tan1° × tan2° × tan3° × ... × tan89° এর মান কত?

সমাধান: এখানে জোড়া তৈরি করুন: (tan1° × tan89°), (tan2° × tan88°), ...
যেহেতু 1°+89° = 90°, তাই tan1° × tan89° = 1।
এইভাবে সমস্ত জোড়ার মান 1 হবে। মাঝে শুধু tan45° একা থাকবে, যার মানও 1।
সুতরাং, পুরো রাশিটির মান হবে 1 × 1 × ... × 1 = 1।

Type-E: যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componentendo & Dividendo)

সূত্র: যদি ${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ হয়, তাহলে ${\displaystyle \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}$।

উদাহরণ: যদি ${\displaystyle \frac{\sec \theta +\tan \theta }{\sec \theta -\tan \theta }=\frac{5}{3}}$ হয়, তাহলে sinθ এর মান কত?

সমাধান: যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
${\displaystyle \frac{(\sec \theta +\tan \theta )+(\sec \theta -\tan \theta )}{(\sec \theta +\tan \theta )-(\sec \theta -\tan \theta )}=\frac{5+3}{5-3}}$
${\displaystyle \frac{2\sec \theta }{2\tan \theta }=\frac{8}{2}=4}$
${\displaystyle \frac{1/\cos \theta }{\sin \theta /\cos \theta }=\frac{1}{\sin \theta }=4}$। সুতরাং, ${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{4}}$।

Type-F: sin⁴θ + cos⁴θ এবং sin⁶θ + cos⁶θ প্যাটার্ন

সূত্র:
1. ${\displaystyle {\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =1-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }$
2. ${\displaystyle {\sin }^6\theta +{\cos }^6\theta =1-3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }$

উদাহরণ: ${\displaystyle 2({\sin }^6\theta +{\cos }^6\theta )-3({\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta )+1}$ এর মান কত?

সমাধান: সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
${\displaystyle 2(1-3{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta )-3(1-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta )+1}$
${\displaystyle =2-6{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta -3+6{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +1}$
${\displaystyle =(2-3+1)=0}$। দ্রুত পদ্ধতি: এই ধরণের প্রশ্নে সরাসরি θ=0° বা 90° বসিয়ে দিন। θ=0° হলে sinθ=0, cosθ=1। মান হয়: 2(0+1) - 3(0+1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0।

---

৫. ট্রিক-৪: সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় (Maximum & Minimum Value)

1. ফরম্যাট: ${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta }$
সর্বোচ্চ মান = ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}}$
সর্বনিম্ন মান = ${\displaystyle -\sqrt{a^2+b^2}}$

2. ফরম্যাট: ${\displaystyle a{\sin }^2\theta +b{\cos }^2\theta }$
যদি a > b হয়: সর্বোচ্চ মান = a, সর্বনিম্ন মান = b
যদি b > a হয়: সর্বোচ্চ মান = b, সর্বনিম্ন মান = a

3. ফরম্যাট: ${\displaystyle a{\tan }^2\theta +b{\cot }^2\theta }$
সর্বনিম্ন মান = ${\displaystyle 2\sqrt{ab}}$ (সর্বোচ্চ মান অসীম)

উদাহরণ: ${\displaystyle 9{\tan }^2\theta +4{\cot }^2\theta }$ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান: সর্বনিম্ন মান = ${\displaystyle 2\sqrt{9\times 4}=2\sqrt{36}=2\times 6=12}$।

---

৬. এক নজরে সব ট্রিকস (Revision Table)

প্রশ্নের প্যাটার্ন	শর্টকাট সূত্র / পদ্ধতি
${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta =x}$	${\displaystyle \sec \theta -\tan \theta =\frac{1}{x}}$
${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta =c}$ (যখন ${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$)	${\displaystyle \sin \theta =\frac{a}{c}}$, ${\displaystyle \cos \theta =\frac{b}{c}}$
${\displaystyle \tan \theta +\cot \theta =2}$	${\displaystyle \tan \theta =1}$ (θ = 45°)
tanA × tanB = ? (যখন A + B = 90°)	মান সর্বদা 1 হবে
sin2A + sin2B = ? (যখন A + B = 90°)	মান সর্বদা 1 হবে
${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta }$ (Max/Min মান)	Max: ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}}$, Min: ${\displaystyle -\sqrt{a^2+b^2}}$
${\displaystyle a{\sin }^2\theta +b{\cos }^2\theta }$ (Max/Min মান)	Max = বড় সহগ, Min = ছোট সহগ

---

উপসংহার:

আশা করি, এই উন্নত এবং বিস্তারিত আর্টিকেলটি আপনার ত্রিকোণমিতির ভীতি দূর করতে সাহায্য করবে। এই শর্টকাট ট্রিকসগুলি শুধুমাত্র মুখস্থ না করে, এগুলি কেন এবং কীভাবে কাজ করে তা বোঝার চেষ্টা করুন। নিয়মিত অনুশীলনই সাফল্যের একমাত্র চাবিকাঠি। যত বেশি প্রশ্ন সমাধান করবেন, তত দ্রুত এবং নির্ভুলভাবে আপনি পরীক্ষার হলে উত্তর দিতে পারবেন।

আপনার প্রস্তুতির জন্য অনেক অনেক শুভকামনা!