Madhyamik Math Suggestion 2026 Set-1

Madhyamik Mathematics Suggestion 2026 | WBBSE Model Question Paper

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) এর ২০২৬ সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের জন্য গণিত (Mathematics) বিষয়ের একটি সম্পূর্ণ নমুনা প্রশ্নপত্র (Model Question Set) নিচে দেওয়া হলো। আগামী পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Time: 3 Hours 15 Minutes
Full Marks: 90 (For Regular Candidates)

---

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: (1 × 6 = 6)

1. ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো 27, 31, 46, 52, $x$, $y+2$, 71, 79, 85, 90 রাশি তথ্যের মধ্যমা 64 হলে, $x + y$-এর মান —
   (a) 125 (b) 126 (c) 127 (d) 128
2. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও একটি অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ সমান এবং এদের আয়তনও সমান। চোঙটির উচ্চতা অপেক্ষা অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা শতকরা কত বেশি?
   (a) 25% (b) 50% (c) 100% (d) 200%
3. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য $\sec\theta$, 1 এবং $\tan\theta$, ($0 \neq 90^\circ$) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান —
   (a) $30^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $90^\circ$
4. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তে $AB$ একটি ব্যাস। $AC$ জ্যা কেন্দ্রে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করলে $\angle OCB$-এর মান হবে —
   (a) $20^\circ$ (b) $30^\circ$ (c) $40^\circ$ (d) $50^\circ$
5. $a : 2 = b : 5$ হলে $a$, $b$-এর কত % এর সমান হবে?
   (a) 20 (b) 30 (c) 40 (d) 50
6. বার্ষিক $X\%$ সরল সুদের হারে $Y$ টাকার $Z$ মাসের সুদ হবে —
   (a) $\frac{XYZ}{1200}$ টাকা (b) $\frac{XYZ}{100}$ টাকা (c) $\frac{XYZ}{200}$ টাকা (d) $\frac{XYZ}{120}$ টাকা

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): (1 × 5 = 5)

1. $(p + q)$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $x$, এর মধ্যে $p$ সংখ্যক সংখ্যার গড় $y$ হলে, অবশিষ্ট $q$ সংখ্যক সংখ্যার গড় হবে ________।
2. $r$ একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন ________।
3. যদি $\sin^2\theta + 2x\cos^2\theta = 1$ হয়, তবে $x$-এর মান হবে ________।
4. একই তলে অবস্থিত দুটি বৃত্তের 3 টি সাধারণ স্পর্শক হলে বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ________ করবে।
5. যদি $x(4 - \sqrt{3}) = y(4 + \sqrt{3}) = 1$ হয়, তাহলে $x^2 + y^2$-এর মান হবে ________।
6. একটি ব্যবসায় পিন্টু, আমনের $1\frac{1}{2}$ গুণ টাকা দিয়েছিল এবং ডেভিড, আমনের $2\frac{1}{2}$ গুণ টাকা দিয়েছিল। আমন, পিন্টু ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত হবে ________।

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): (1 × 5 = 5)

1. সংখ্যাগুরু মান = $2 \times$ মধ্যমা $- 3 \times$ যৌগিক গড়।
2. শঙ্কুর আয়তন $x$, ভূমির ক্ষেত্রফল $y$ এবং উচ্চতা $z$ হলে $\frac{x}{yz}$ এর মান 3 হবে।
3. $0^\circ < \theta < 90^\circ$ হলে $\sin\theta < \sin^2\theta$ হবে।
4. $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle ADB = x^\circ$ এবং $\angle ABD = y^\circ$ হলে, $\angle BCD$ এর মান হবে $(x + y)^\circ$।
5. $6x^2 + x + k = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি $\frac{25}{36}$ হলে, $k$-এর মান হবে 12।
6. একটি যৌথ ব্যবসায় দুই বন্ধুর মধ্যে একজন $xyz$ টাকা $y$ মাসের জন্য এবং অপরজন $y^2z$ টাকা $x$ মাসের জন্য নিয়োজিত করে। চুক্তির শেষে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে $x : y$।

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): (2 × 10 = 20)

1. প্রথম $(2n + 1)$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা হলো $\frac{n + 103}{3}$, $n$-এর মান নির্ণয় করো।
2. দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
3. একটি আয়তঘনের ধারগুলির সংখ্যা $x$, তলগুলির সংখ্যা $y$ হলে, '$a$' এর সর্বনিম্ন মান কত হলে $(x + y + a)$ একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
4. $\cos^4\theta - \sin^4\theta = \frac{2}{3}$ হলে, $1 - 2\sin^2\theta$ এর মান নির্ণয় করো।
5. $\sin(\theta + 30^\circ) = \cos 15^\circ$ হলে, $\cos 2\theta$ এর মান কত?
6. $ABCD$ আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে $O$ বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $OB = 6$ সেমি, $OD = 8$ সেমি এবং $OA = 5$ সেমি। $OC$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
7. $O$-কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে $PS$ ও $PT$ দুটি স্পর্শক টানা হলো। $QS$ বৃত্তের একটি জ্যা যেটি $PT$ এর সমান্তরাল। $\angle SPT = 80^\circ$ হলে $\angle QST$ এর মান কত?
8. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 27 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে নির্ণয় করো।
9. $x \propto \sqrt{y}$ এবং $y = a^2$, যদি $x = 2a$ হয় তাহলে $x^2 : y$ এর মান নির্ণয় করো।
10. $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ হলে $\frac{3x + 4y + 8z}{x + 3y}$ এর মান কত?
11. কোনো ব্যবসায় $A$ ও $B$ এর মূলধনের অনুপাত 3 : 2, লাভের 5% দান করার পর $B$ এর লাভ 798 টাকা হলে, মোট লাভ কত?
12. বার্ষিক সরল সুদের হার 5.5% থেকে কমে 4.5% হলে এক ব্যক্তির প্রাপ্য বার্ষিক সুদ 250 টাকা কম হয়। মূলধন কত?

5. পাটিগণিত (যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও): (5 × 1 = 5)

1. কোনো যৌথ ব্যবসায় সমর ও মহিমের প্রত্যেকের মূলধন 20,000 টাকা। 6 মাস পরে সমর আরও 5,000 টাকা দিল কিন্তু মহিম 5,000 টাকা তুলে নিল। যদি বৎসরান্তে 32,000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তবে তাদের প্রত্যেকের লভ্যাংশ নির্ণয় করো।
2. 21,866 টাকাকে এমন দুটি অংশে ভাগ করো, যাতে প্রথম অংশের 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি, দ্বিতীয় অংশের 5 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধির সমান হয়, যেখানে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%।

6. বীজগণিত - দ্বিঘাত সমীকরণ (যে কোনো একটি): (3 × 1 = 3)

1. 16 কে এরূপ দুই অংশে বিভক্ত করো যেন বৃহত্তর অংশের বর্গের দ্বিগুণ ক্ষুদ্রতর অংশের বর্গের চেয়ে 164 বেশি।
2. সমাধান করো: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 2\frac{1}{2}, (x \neq -3, 3)$

7. বীজগণিত - করণী ও ভেদ (যে কোনো একটি): (3 × 1 = 3)

1. যদি $\left(x^3 - \frac{1}{y^3}\right) \propto \left(x^3 + \frac{1}{y^3}\right)$ হয়, তাহলে দেখাও যে $x \propto \frac{1}{y}$।
2. যদি $x = \frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ হয়, তবে $\frac{x + \sqrt{20}}{x - \sqrt{20}} + \frac{x + \sqrt{12}}{x - \sqrt{12}}$ এর মান নির্ণয় করো।

8. অনুপাত ও সমানুপাত (যে কোনো একটি): (3 × 1 = 3)

1. যদি $(b + c - a)x = (c + a - b)y = (a + b - c)z = 2$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে
   $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}\right) = abc$
2. $\frac{x}{y} = \frac{a+2}{a-2}$ হলে $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

9. জ্যামিতি - উপপাদ্য (যে কোনো একটি): (5 × 1 = 5)

1. প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
2. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি বিবৃত করো এবং প্রমাণ করো।

10. জ্যামিতি - প্রয়োগ (যে কোনো একটি): (3 × 1 = 3)

1. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ব্যাস, বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু $P$ থেকে $PN$, $AB$ এর উপর একটা লম্ব টানা হলো। জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে $PB^2 = AB.BN$।
2. $ABC$ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র '$O$' এবং $OD \perp BC$ হলে প্রমাণ করো $\angle BOD = \angle BAC$।

11. জ্যামিতি - সম্পাদ্য (যে কোনো একটি): (5 × 1 = 5)

1. জ্যামিতিক পদ্ধতিতে $2\sqrt{3}$ এর মান নির্ণয় করো।
2. 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো। ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।

12. ত্রিকোণমিতি (যে কোনো দুটি): (3 × 2 = 6)

1. যদি $\sin x = m \sin y$ এবং $\tan x = n \tan y$ হয় তবে দেখাও যে $\cos^2 x = \frac{m^2 - 1}{n^2 - 1}$।
2. $\tan\theta = \frac{5}{7}$ হলে, $\frac{5\sin\theta + 7\cos\theta}{7\sin\theta + 5\cos\theta}$ এর মান নির্ণয় করো।
3. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপের অনুপাত 5 : 2। চাপ দুটি কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার দ্বিতীয় কোণটির মান $30^\circ$ হলে প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান কত?

13. উচ্চতা ও দূরত্ব (যে কোনো একটি): (5 × 1 = 5)

1. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে হাবু একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে $30^\circ$ উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পর দক্ষিণ দিকে $60^\circ$ উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি বরাবর $50\sqrt{3}$ মিটার উঁচুতে একই সরলরেখায় উড়ে থাকে তবে তার গতিবেগ কত?
2. দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার, একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা কত?

14. পরিমিতি (যে কোনো দুটি): (4 × 2 = 8)

1. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল $154\sqrt{2}$ বর্গসেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে উহার শীর্ষকোণ নির্ণয় করো।
2. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশি হতো, চোঙটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
3. 12 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট সীসার গোলক গলিয়ে তিনটি ছোট ছোট নিরেট সীসার গোলক তৈরী করা হল। যদি ছোট গোলকগুলির ব্যাসের অনুপাত 3 : 4 : 5 হয়, তবে ছোট গোলকগুলির প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

15. রাশিবিজ্ঞান (যে কোনো দুটি): (4 × 2 = 8)

1. একটি কর্মসূচীতে উপস্থিত 100 জনের বয়স নিচের ছকে দেওয়া হল। ঐ 100 জন লোকের গড় বয়স নির্ণয় করো।

   বয়স (বছরে)	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
   লোকসংখ্যা	08	12	20	22	18	20



2. নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় করো যখন $x + y = 100$.

   শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
   পরিসংখ্যা	10	$x$	25	30	$y$	10



3. প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) তৈরী করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করো।

   শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
   পরিসংখ্যা	1	6	15	20	15	6	1

এই প্রশ্নপত্রটি ভালোভাবে অনুশীলন করলে তোমরা মাধ্যমিক ২০২৬ গণিত পরীক্ষায় কমন পেতে পারো। নিয়মিত অঙ্ক অনুশীলনই সাফল্যের চাবিকাঠি।

Madhyamik Mathematics 2026: Model Solution

(নীচে ২০২৬ সালের মডেল প্রশ্নপত্রটির উত্তর ও ব্যাখ্যা দেওয়া হলো)

---

১. সঠিক উত্তর নির্বাচন (MCQ Solution)

• (i) উত্তর: (b) 126
  ব্যাখ্যা: এখানে মোট পদসংখ্যা $n = 10$ (যুগ্ম)।
  মধ্যমা = $\frac{\frac{n}{2}\text{ তম পদ} + (\frac{n}{2}+1)\text{ তম পদ}}{2} = \frac{5\text{ম পদ} + 6\text{ষ্ঠ পদ}}{2}$
  প্রশ্নমতে, $\frac{x + (y+2)}{2} = 64 \Rightarrow x + y + 2 = 128 \Rightarrow x + y = 126$।
• (ii) উত্তর: (b) 50%
  ব্যাখ্যা: চোঙ ও অর্ধগোলকের আয়তন সমান। $\pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3 \Rightarrow h = \frac{2}{3}r$।
  অর্ধগোলকের উচ্চতা $r$ এবং চোঙের উচ্চতা $\frac{2}{3}r$।
  পার্থক্য = $r - \frac{2}{3}r = \frac{1}{3}r$।
  শতকরা বেশি = $\frac{r/3}{2r/3} \times 100 = 50\%$।
• (iii) উত্তর: (d) 90°
  ব্যাখ্যা: আমরা জানি, $\sec^2\theta = 1^2 + \tan^2\theta$। এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ($অতিভুজ^2 = লম্ব^2 + ভূমি^2$) মেনে চলে। তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি $90^\circ$।
• (iv) উত্তর: (b) 30°
  ব্যাখ্যা: $\triangle OBC$ সমদ্বিবাহু (কারণ $OB=OC$)। কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
  $\angle OCB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$।
• (v) উত্তর: (c) 40
  ব্যাখ্যা: $\frac{a}{2} = \frac{b}{5} \Rightarrow a = \frac{2}{5}b$।
  শতকরা = $\frac{2}{5} \times 100 = 40\%$।
• (vi) উত্তর: (a) XYZ/1200 টাকা
  ব্যাখ্যা: সময় $Z$ মাস = $\frac{Z}{12}$ বছর।
  সুদ $I = \frac{PRT}{100} = \frac{Y \cdot X \cdot \frac{Z}{12}}{100} = \frac{XYZ}{1200}$।

২. শূন্যস্থান পূরণ

1. উত্তর: $\frac{(p+q)x - py}{q}$
2. উত্তর: $\frac{1}{3}\pi r^3$ ঘন একক (শঙ্কুর উচ্চতা = ব্যাসার্ধ = $r$ হবে)।
3. উত্তর: $\frac{1}{2}$ (সমীকরণ সমাধান করে $2x = 1$ পাওয়া যায়)।
4. উত্তর: বহিঃস্পর্শ (Touch externally)।
5. উত্তর: 62 (সূত্র: $(x+y)^2 - 2xy = 8^2 - 2(1) = 62$)।
6. উত্তর: 2 : 3 : 5 (আমনকে $2$ ধরলে, পিন্টু $3$ এবং ডেভিড $5$ হয়)।

৩. সত্য বা মিথ্যা

1. মিথ্যা (সঠিক: সংখ্যাগুরু মান = 3 মধ্যমা - 2 যৌগিক গড়)।
2. মিথ্যা (মান বসালে উত্তর আসে $\frac{1}{3}$)।
3. মিথ্যা ($0 < \theta < 90^\circ$ হলে, $\sin^2\theta < \sin\theta$ হয়)।
4. সত্য (একই বৃত্তাংশস্থ কোণের ধর্ম অনুযায়ী)।
5. মিথ্যা (হিসাব করলে $k$ এর মান $-2$ আসে)।
6. মিথ্যা (অনুপাতটি $1:1$ হয়)।

৪. সংক্ষিপ্ত উত্তর (SAQ)

(i) মধ্যমা নির্ণয়:
পদসংখ্যা বিজোড়। মধ্যমা = $\frac{(2n+1)+1}{2} = (n+1)$ তম পদ।
শর্তমতে, $n+1 = \frac{n+103}{3} \Rightarrow 3n+3=n+103 \Rightarrow 2n=100 \Rightarrow n=50$।

(ii) চোঙের ক্ষেত্রফলের অনুপাত:
অনুপাত = $\frac{2\pi r_1 h_1}{2\pi r_2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{10}{9}$ বা 10:9।

(vi) আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে বিন্দু:
সূত্র: $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$
$5^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 \Rightarrow 25 + OC^2 = 36 + 64$
$OC^2 = 100 - 25 = 75 \Rightarrow OC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ সেমি।

(xi) অংশীদারি কারবার:
$B$-এর মূলধনের আনুপাতিক ভাগহার $\frac{2}{5}$।
লাভের 5% দান করার পর বাকি থাকে 95%।
শর্তমতে, মোট লাভের $95\% \times \frac{2}{5} = 798$ টাকা।
মোট লাভ = $\frac{798 \times 5 \times 100}{2 \times 95} = 2100$ টাকা।

৫. পাটিগণিত সমাধান

(i) অংশীদারি কারবার:

• সমরের মূলধনের সমতুল্য পরিমাণ = $(20000 \times 6) + (25000 \times 6) = 2,70,000$
• মহিমের মূলধনের সমতুল্য পরিমাণ = $(20000 \times 6) + (15000 \times 6) = 2,10,000$
• অনুপাত = $27 : 21 = 9 : 7$
• মোট লাভ 32,000 টাকা।
• সমর পাবে = $\frac{9}{16} \times 32000 = 18,000$ টাকা।
• মহিম পাবে = $\frac{7}{16} \times 32000 = 14,000$ টাকা।

৬. দ্বিঘাত সমীকরণ

• (i) ১৬ কে দুই অংশে ভাগ:
  ধরি, একটি অংশ $x$, অন্যটি $(16-x)$। শর্তমতে, $2x^2 = (16-x)^2 + 164$।
  সমাধান করে পাই: $x^2 + 32x - 420 = 0$।
  মিডল টার্ম করে $(x+42)(x-10)=0$। যেহেতু অংশ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x=10$।
  উত্তর: অংশ দুটি ১০ এবং ৬।
• (ii) সমাধান: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 2\frac{1}{2}$
  ধরি $\frac{x+3}{x-3} = a$। তাহলে $a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}$।
  দ্বিঘাত সমীকরণ করে পাই $2a^2 - 5a + 2 = 0$, যার সমাধান $a=2$ অথবা $a=1/2$।
  মান বসিয়ে পাই: $x = 9$ এবং $x = -9$।
  উত্তর: $x = 9, -9$।

৭. করণী ও ভেদ

• (i) ভেদ: যোগভাগ প্রক্রিয়া ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় যে $xy = \text{ধ্রুবক}$, তাই $x \propto \frac{1}{y}$।
• (ii) মান নির্ণয়: $x = \frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ হলে প্রদত্ত রাশিটির মান সর্বদা 2 হয়। এটি যোগভাগ প্রক্রিয়ার একটি স্ট্যান্ডার্ড অঙ্ক।

৮. অনুপাত ও সমানুপাত

• (ii) মান নির্ণয়: $\frac{x}{y} = \frac{a+2}{a-2}$ হলে যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{(a+2)^2-(a-2)^2}{(a+2)^2+(a-2)^2}$।
  সূত্র প্রয়োগ করে: $\frac{4 \cdot a \cdot 2}{2(a^2+4)} = \frac{4a}{a^2+4}$।

৯. জ্যামিতি (উপপাদ্য)

• (i) পাঠ্যবইয়ের বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্যটি লিখতে হবে (বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক)।
• (ii) পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি বিবৃত ও প্রমাণ করতে হবে।

১০. জ্যামিতি (প্রয়োগ)

• (i) $\triangle PNB$ ও $\triangle APB$ সদৃশ দেখিয়ে প্রমাণ করা হয় $PB^2 = AB \cdot BN$।
• (ii) কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC = 2\angle BAC$ এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ধর্মে $\angle BOD = \frac{1}{2}\angle BOC$। সেখান থেকে $\angle BOD = \angle BAC$।

১১. সম্পাদ্য

• (i) ৩ সেমি ও ৪ সেমি রেখাংশের মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করে জ্যামিতিক উপায়ে $\sqrt{12}$ এর মান বের করতে হবে।
• (ii) ৬, ৮, ১০ সেমি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ এঁকে তার কোণের সমদ্বিখণ্ডক দিয়ে অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।

১২. ত্রিকোণমিতি সমাধান

(ii) মান নির্ণয়:

দেওয়া আছে, $\tan\theta = \frac{5}{7}$।
প্রদত্ত রাশি = $\frac{5\sin\theta + 7\cos\theta}{7\sin\theta + 5\cos\theta}$
লব ও হরকে $\cos\theta$ দিয়ে ভাগ করে পাই,
$= \frac{5\tan\theta + 7}{7\tan\theta + 5} = \frac{5(\frac{5}{7}) + 7}{7(\frac{5}{7}) + 5}$
$= \frac{\frac{25}{7} + 7}{5 + 5} = \frac{\frac{25+49}{7}}{10} = \frac{74}{70} = \frac{37}{35}$।

১৩. উচ্চতা ও দূরত্ব সমাধান

(i) পাখির গতিবেগ নির্ণয়:
পাখির উচ্চতা $h = 50\sqrt{3}$ মিটার।
প্রথম ক্ষেত্রে দূরত্ব (ভূমি) $d_1 = 50\sqrt{3} \times \cot 30^\circ = 50\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 150$ মিটার।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে দূরত্ব (ভূমি) $d_2 = 50\sqrt{3} \times \cot 60^\circ = 50\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 50$ মিটার।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $150 + 50 = 200$ মিটার।
সময় = ২ মিনিট = ১২০ সেকেন্ড।
গতিবেগ = $\frac{200}{120} = \frac{5}{3}$ মি/সে বা $1\frac{2}{3}$ মি/সে।

(ii) ছোট স্তম্ভের উচ্চতা নির্ণয়:
ধরি, ছোট স্তম্ভের উচ্চতা $h$ এবং বড়টির $3h$। মোট দূরত্ব ১৫০ মি।
মধ্যবিন্দু থেকে প্রত্যেক স্তম্ভের দূরত্ব ভূমি ($b$) = ৭৫ মি।
যেহেতু কোণ দুটি পূরক, তাই $\tan\theta_1 \times \tan\theta_2 = 1$ হবে।
প্রশ্নমতে, $\frac{h}{75} \times \frac{3h}{75} = 1$
$\Rightarrow 3h^2 = 75 \times 75$
$\Rightarrow h^2 = 3 \times 25 \times 25$
$\Rightarrow h = 25\sqrt{3}$
উত্তর: ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা $25\sqrt{3}$ মিটার।

১৪. পরিমিতি সমাধান

(i) শঙ্কুর শীর্ষকোণ:

• বক্রতল $\pi r l = 154\sqrt{2}$ এবং $r = 7$।
• মান বসিয়ে: $\frac{22}{7} \times 7 \times l = 154\sqrt{2} \Rightarrow l = 7\sqrt{2}$।
• উচ্চতা $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(7\sqrt{2})^2 - 7^2} = \sqrt{98 - 49} = \sqrt{49} = 7$।
• যেহেতু $r = h = 7$, তাই এটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
• অর্ধ-শীর্ষকোণ $45^\circ$। সুতরাং, সম্পূর্ণ শীর্ষকোণ = $90^\circ$।

১৫. রাশিবিজ্ঞান সমাধান

(i) গড় নির্ণয়:
এখানে $\sum f = 100$ এবং $\sum fx = 4400$ (মধ্যমান ও পরিসংখ্যা গুণ করে যোগফল)।
গড় = $\frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{4400}{100} = 44$ বছর।

(ii) মধ্যমা থেকে x ও y এর মান:
মোট পরিসংখ্যা ১০০, তাই $10+x+25+30+y+10 = 100 \Rightarrow x+y=25$।
মধ্যমা ৩২, তাই মধ্যমা শ্রেণী ৩০-৪০।
সূত্র: $32 = 30 + \frac{50 - (10+x)}{30} \times 10$
সমাধান করে পাই: $x = 9$।
সমীকরণে মান বসিয়ে: $9 + y = 25 \Rightarrow y = 16$।
উত্তর: $x=9$ এবং $y=16$।

(iii) ওজাইভ:
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) বের করতে হবে:
(১০ এর কম: ১), (২০ এর কম: ৭), (৩০ এর কম: ২২), (৪০ এর কম: ৪২), (৫০ এর কম: ৫৭), (৬০ এর কম: ৬৩), (৭০ এর কম: ৬৪)।
এই বিন্দুগুলি $(10,1), (20,7), \dots$ ছক কাগজে স্থাপন করে ওজাইভ আঁকতে হবে।

আরও সাজেশনের জন্য আমাদের Bigyanbook ফলো করুন।