বিভাগ - ক : পাটিগণিত (Arithmetic)
১. বার্ষিক $r\%$ সরল সুদের হারে $P$ টাকার $t$ বছরের সুদ $I$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: $I = \frac{Prt}{100}$ বা $Prt = 100I$
Bigyanbook Tricks: মনে রাখবে, সরল সুদের ক্ষেত্রে মোট সুদ (Simple Interest) নির্ণয়ের সূত্র হলো $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$। এখানে $P$=আসল, $R$=সুদের হার, $T$=সময়।
২. কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত $25 : 28$ হলে, বার্ষিক সুদের হার কত?
উত্তর: $12\%$
Bigyanbook Tricks: ধরি আসল $25x$ এবং সবৃদ্ধিমূল $28x$। তাহলে সুদ = $(28x - 25x) = 3x$। সুদের হার $r = \frac{ সুদ \times 100}{আসল \times ১} = \frac{3x \times 100}{25x} = 12\%$।
৩. চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে, সুদের পর্ব ৬ মাস হলে বার্ষিক সুদের হার $10\%$ এর পরিবর্তে কত হবে?
উত্তর: $5\%$
Bigyanbook Tricks: সুদের পর্ব ৬ মাস মানে বছরে ২ বার সুদ দেওয়া হয়। তাই বার্ষিক সুদের হার অর্ধেক হয়ে যাবে ($\frac{10}{2} = 5\%$) এবং সময় দ্বিগুণ ($2n$) হয়ে যাবে।
৪. একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা $P$ এবং প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার $2r\%$ হলে, $n$ বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?
উত্তর: $P(1 + \frac{2r}{100})^n = P(1 + \frac{r}{50})^n$
Bigyanbook Tricks: সমহার বৃদ্ধির সূত্র: $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$। এখানে $R$ এর জায়গায় $2r$ বসালে উত্তরটি পাওয়া যায়।
৫. কোনো ব্যবসায় $A$, $1000$ টাকা ৯ মাসের জন্য এবং $B$, $1800$ টাকা ৫ মাসের জন্য বিনিয়োগ করে। তাদের লভ্যাংশের অনুপাত কত?
উত্তর: $1 : 1$
Bigyanbook Tricks: অংশীদারি কারবারে লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত × সময়ের অনুপাত। এখানে, $(1000 \times 9) : (1800 \times 5) = 9000 : 9000 = 1 : 1$।
৬. সত্য বা মিথ্যা: অংশীদারি কারবারে অন্তত ৩ জন লোকের দরকার।
উত্তর: মিথ্যা
Bigyanbook Tricks: অংশীদারি কারবার বা Partnership Business শুরু করার জন্য ন্যূনতম ২ জন ব্যক্তি প্রয়োজন।
৭. এক ব্যক্তি ব্যাংকে ১০০ টাকা জমা রেখে ২ বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন ১২১ টাকা। বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার কত?
উত্তর: $10\%$
Bigyanbook Tricks: $100(1 + \frac{r}{100})^2 = 121$ বা $(1 + \frac{r}{100})^2 = \frac{121}{100} = (\frac{11}{10})^2$। এখান থেকে $r = 10$ বের হবে।
৮. একটি মেশিনারি জিনিসের মূল্য প্রতি বছর $10\%$ হারে হ্রাস পায়। বর্তমান মূল্য 1000 টাকা হলে, 2 বছর পর মূল্য কত হবে?
উত্তর: ৮১০ টাকা
Bigyanbook Tricks: হ্রাসের ক্ষেত্রে সূত্র: $P(1 - \frac{r}{100})^n$। এখানে $1000(1 - \frac{10}{100})^2 = 1000 \times \frac{81}{100} = 810$ টাকা।
বিভাগ - খ : বীজগণিত (Algebra)
৯. $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্ত কী?
উত্তর: $b^2 - 4ac = 0$
Bigyanbook Tricks: নিরূপক (Discriminant) $D = b^2 - 4ac$। যদি $D=0$ হয়, বীজদয় সমান। $D>0$ হলে বাস্তব ও অসমান, এবং $D<0$ হলে কোনো বাস্তব বীজ নেই।
১০. $x^2 - 7x + 3 = 0$ সমীকরণের বীজদয়ের গুণফল কত?
উত্তর: $3$
Bigyanbook Tricks: দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদয়ের গুণফল = $\frac{c}{a}$। এখানে $c=3, a=1$। তাই উত্তর $3/1 = 3$।
১১. $x \propto y$ হলে, $x^n \propto$ _______ ।
উত্তর: $y^n$
Bigyanbook Tricks: ভেদের নিয়ম অনুযায়ী, চলরাশির ঘাত বাড়লে বা কমলে, সমানুপাতিক সম্পর্কে থাকা অন্য চলরাশির ঘাতও একইভাবে পরিবর্তিত হয়।
১২. $a:b = 2:3, b:c = 4:5$ এবং $c:d = 6:7$ হলে, $a:d$ কত?
উত্তর: $16 : 35$
Bigyanbook Tricks: $\frac{a}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{d} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{16}{35}$।
১৩. $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^{2026} + \frac{1}{x^{2026}}$ এর মান কত?
উত্তর: $2$
Bigyanbook Tricks: $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে সর্বদা $x = 1$ হয়। আর $1$ এর পাওয়ার যাই হোক না কেন, তা $1$-ই থাকে। তাই $1 + 1 = 2$।
১৪. সত্য বা মিথ্যা: $\sqrt{75}$ এবং $\sqrt{147}$ সদৃশ করণী।
উত্তর: সত্য
Bigyanbook Tricks: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ এবং $\sqrt{147} = 7\sqrt{3}$। উভয়ের করণী অংশ $\sqrt{3}$ একই, তাই এরা সদৃশ।
১৫. ক্রমিক সমানুপাতী ৩টি সংখ্যার প্রথমটি 4 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, তৃতীয়টি কত?
উত্তর: $9$
Bigyanbook Tricks: ধরি তৃতীয়টি $x$। ক্রমিক সমানুপাতে $b^2 = ac$ হয়। এখানে $6^2 = 4 \times x$ বা $36 = 4x$ বা $x = 9$।
১৬. $y$ দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি $x$ এর সঙ্গে সরল ভেদে এবং অন্যটি $x$ এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। সম্পর্কটি লেখো।
উত্তর: $y = k_1x + \frac{k_2}{x}$, যেখানে $k_1, k_2$ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।
Bigyanbook Tricks: যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী অংশগুলো যোগ আকারে লিখতে হয়।
১৭. $2x^2 + kx + 4 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, $k$ এর মান কত?
উত্তর: $-6$
Bigyanbook Tricks: $x$ এর জায়গায় 2 বসিয়ে পাই: $2(2)^2 + k(2) + 4 = 0 \Rightarrow 8 + 2k + 4 = 0 \Rightarrow 2k = -12 \Rightarrow k = -6$।
১৮. $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1}$ এর মান কত?
উত্তর: $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
Bigyanbook Tricks: হরের করণী নিরসন করতে হবে। লব ও হরকে $(\sqrt{5}+1)$ দিয়ে গুণ করলে নিচে $5-1=4$ এবং উপরে $(\sqrt{5}+1)^2 = 5+1+2\sqrt{5} = 6+2\sqrt{5}$ পাওয়া যায়। ২ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর আসে।
বিভাগ - গ : জ্যামিতি (Geometry)
১৯. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর ________।
উত্তর: সম্পূরক ($180^\circ$)
Bigyanbook Tricks: এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
২০. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদা ________।
উত্তর: সমকোণ ($90^\circ$)
Bigyanbook Tricks: মনে রাখবে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে বৃত্তের পরিধির যেকোনো বিন্দুতে কোণ আঁকলেই তা ৯০ ডিগ্রি হবে।
২১. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 13 সেমি এবং জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব কত?
উত্তর: 12 সেমি
Bigyanbook Tricks: পীথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করো। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, ভূমি = 10/2 = 5। লম্ব = $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$।
২২. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, তাদের সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা কত?
উত্তর: ৩টি
Bigyanbook Tricks: দুটি বৃত্ত একে অপরকে বাইরে থেকে স্পর্শ করলে একটি স্পর্শক স্পর্শবিন্দুতে এবং বাকি দুটি উপরে ও নিচে থাকে।
২৩. $O$ কেন্দ্রীয় বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle AOB = 60^\circ$ হলে, $\angle COD$ এর মান কত?
উত্তর: $60^\circ$
Bigyanbook Tricks: সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
২৪. সত্য বা মিথ্যা: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি সমকৌণিক বিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তর: সত্য
Bigyanbook Tricks: কারণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। তাই সমকৌণিক শীর্ষবিন্দুটি অবশ্যই পরিধিতে থাকবে।
২৫. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক $PA$ ও $PB$। $PA = 5$ সেমি হলে $PB$ এর দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: 5 সেমি
Bigyanbook Tricks: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হয়।
২৬. $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ সদৃশ। $\angle A = 47^\circ, \angle E = 83^\circ$ হলে $\angle C$ এর মান কত?
উত্তর: $50^\circ$
Bigyanbook Tricks: সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান। $\angle A = \angle D = 47^\circ$, $\angle B = \angle E = 83^\circ$। সুতরাং $\angle C = 180^\circ - (47^\circ + 83^\circ) = 50^\circ$।
২৭. বৃত্তের স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর কত ডিগ্রি কোণে থাকে?
উত্তর: $90^\circ$ (লম্বভাবে থাকে)
Bigyanbook Tricks: এটি স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্যের মূল কথা। স্পর্শক $\perp$ ব্যাসার্ধ।
বিভাগ - ঘ : পরিমিতি (Mensuration)
২৮. একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ $r$ হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর: $4\pi r^2$ বর্গ একক
Bigyanbook Tricks: গোলকের বক্রতল বা সমগ্রতল একই হয়। কিন্তু অর্ধগোলক হলে সমগ্রতল $3\pi r^2$ হতো।
২৯. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করলে, তার আয়তনের কী পরিবর্তন হবে?
উত্তর: আয়তন অর্ধেক হবে।
Bigyanbook Tricks: মূল আয়তন $V = \pi r^2 h$। নতুন আয়তন $V' = \pi (\frac{r}{2})^2 (2h) = \pi \frac{r^2}{4} \times 2h = \frac{1}{2} \pi r^2 h = \frac{V}{2}$।
৩০. দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত $8:27$ হলে, তাদের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
উত্তর: $4:9$
Bigyanbook Tricks: আয়তনের অনুপাত $r_1^3 : r_2^3 = 8:27$ মানে $r_1:r_2 = 2:3$। ক্ষেত্রফলের অনুপাত বর্গের সমানুপাতী, তাই $2^2 : 3^2 = 4:9$।
৩১. একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ $r$, উচ্চতা $h$ এবং তির্যক উচ্চতা $l$ হলে, সম্পর্কটি কী?
উত্তর: $l^2 = r^2 + h^2$
Bigyanbook Tricks: শঙ্কুর প্রস্থচ্ছেদ একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে $l$ হলো অতিভুজ।
৩২. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $l, b, h$। কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ একক
Bigyanbook Tricks: আয়তঘনের কর্ণ হলো সেই দণ্ড যা ঘরের এক কোণা থেকে বিপরীত কোণা পর্যন্ত রাখা যায়।
৩৩. একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $147\pi$ বর্গ সেমি হলে, ব্যাসার্ধ কত?
উত্তর: 7 সেমি
Bigyanbook Tricks: $3\pi r^2 = 147\pi \Rightarrow 3r^2 = 147 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7$।
৩৪. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ সেমি হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
উত্তর: 512 ঘন সেমি
Bigyanbook Tricks: তলের ক্ষেত্রফল $a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$। আয়তন $a^3 = 8^3 = 512$।
বিভাগ - ঙ : ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)
৩৫. $\sin^2\theta + \cos^2\theta =$ কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: এটি ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভেদ (Identity)। মনে রাখবে $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ এবং $\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1$।
৩৬. $\tan 45^\circ$ এর মান কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, তাই অনুপাতটি 1 হয়।
৩৭. যদি $\sin\theta = \cos\theta$ হয় এবং $0^\circ < \theta < 90^\circ$, তবে $\theta$ এর মান কত?
উত্তর: $45^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\sin$ এবং $\cos$ এর মান শুধুমাত্র $45^\circ$ কোণেই সমান হয়। অথবা $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1 \Rightarrow \tan\theta = 1 \Rightarrow \theta = 45^\circ$।
৩৮. $\sec^2(90^\circ - \theta) - \cot^2\theta$ এর মান কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী $\sec(90^\circ - \theta) = \text{cosec}\theta$। তাই রাশিটি দাঁড়ায় $\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta$, যার মান 1।
৩৯. একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতা সমান হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
উত্তর: $45^\circ$
Bigyanbook Tricks: লম্ব = ভূমি হলে, $\tan\theta = \frac{লম্ব}{ভূমি} = 1$। আর $\tan 45^\circ = 1$।
৪০. $\sin(A+B) = 1$ এবং $\cos(A-B) = 1$ হলে, $A$ ও $B$ এর মান কত? ($0^\circ < A+B \le 90^\circ$)
উত্তর: $A = 45^\circ, B = 45^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\sin(A+B) = \sin 90^\circ \Rightarrow A+B=90$। $\cos(A-B) = \cos 0^\circ \Rightarrow A-B=0$। সমাধান করে পাই $2A=90 \Rightarrow A=45$ এবং $B=45$।
৪১. $\frac{4}{\sec^2\theta} + \frac{1}{1+\cot^2\theta} + 3\sin^2\theta$ এর সরলতম মান নির্ণয় করো।
উত্তর: $4$
Bigyanbook Tricks: $\frac{1}{\sec^2} = \cos^2$ এবং $\frac{1}{1+\cot^2} = \frac{1}{\text{cosec}^2} = \sin^2$। রাশিটি হয়: $4\cos^2\theta + \sin^2\theta + 3\sin^2\theta = 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta = 4(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = 4(1) = 4$।
বিভাগ - চ : রাশিবিজ্ঞান (Statistics)
৪২. ১, ২, ৩, ..., ১০ সংখ্যাগুলির গড় কত?
উত্তর: ৫.৫
Bigyanbook Tricks: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = $\frac{n+1}{2}$। এখানে $\frac{10+1}{2} = 5.5$।
৪৩. মধ্যগামিতার মাপক (Measures of Central Tendency) কয়টি ও কী কী?
উত্তর: ৩টি। যথা— গড় (Mean), মধ্যমা (Median), ও সংখ্যাগুরুমান (Mode)।
Bigyanbook Tricks: পরীক্ষায় প্রশ্ন আসতে পারে "ওজাইভ" মধ্যগামিতার মাপক কি না। উত্তর হবে 'না', ওজাইভ হলো লেখচিত্র।
৪৪. ২, ৩, ৫, ২, ৩, ২, ৬, ৮ তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান কত?
উত্তর: ২
Bigyanbook Tricks: যে সংখ্যাটি তথ্যে সবচেয়ে বেশিবার থাকে, সেটিই সংখ্যাগুরুমান। এখানে ২ আছে ৩ বার।
৪৫. ওজাইভ (Ogive) অঙ্কন করতে এক্স-অক্ষ বরাবর কী নেওয়া হয়?
উত্তর: শ্রেণি সীমানা (উচ্চ শ্রেণি সীমানা বা নিম্ন শ্রেণি সীমানা)
Bigyanbook Tricks: "ক্ষুদ্রতর সূচক" ওজাইভের জন্য উচ্চ শ্রেণি সীমানা এবং "বৃহত্তর সূচক" ওজাইভের জন্য নিম্ন শ্রেণি সীমানা লাগে।
৪৬. গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমানের মধ্যে অভিজ্ঞতালব্ধ সম্পর্কটি (Empirical Relation) লেখো।
উত্তর: $Mode = 3 \times Median - 2 \times Mean$
Bigyanbook Tricks: এই সূত্রটি মনে রাখার সহজ উপায়: বড় শব্দটি (Median) ৩ এর সাথে এবং ছোট শব্দটি (Mean) ২ এর সাথে গুণ হয়।
বিবিধ (Miscellaneous) - ২ নম্বরের গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন
৪৭. বার্ষিক $5\%$ চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ৬১৫ টাকা হবে?
উত্তর: ৬০০০ টাকা
Bigyanbook Tricks: $P(1+\frac{5}{100})^2 - P = 615$ সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।
৪৮. যদি $x : y = 3 : 4$ হয়, তবে $(3y - x) : (2x + y)$ কত?
উত্তর: $9 : 10$
Bigyanbook Tricks: $x=3k, y=4k$ বসিয়ে পাই: $(12k-3k) : (6k+4k) = 9k : 10k = 9:10$।
৪৯. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। ওই বৃত্তে 16 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা অঙ্কন করা হলো। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব কত?
উত্তর: ৬ সেমি
Bigyanbook Tricks: সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করো। অতিভুজ ১০, ভূমি ৮ (১৬ এর অর্ধেক)। লম্ব হবে $\sqrt{100-64} = 6$।
৫০. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V$ ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $A$ বর্গ একক এবং উচ্চতা $H$ একক হলে, $\frac{AH}{V}$ এর মান কত?
উত্তর: $3$
Bigyanbook Tricks: শঙ্কুর আয়তন $V = \frac{1}{3}AH$। সুতরাং $\frac{AH}{V} = \frac{AH}{\frac{1}{3}AH} = 3$।
বিভাগ - ক : পাটিগণিত (Arithmetic)
৫১. বার্ষিক $r\%$ সুদের হারে $P$ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত?
উত্তর: $\frac{Pr^2}{10000}$ টাকা
Bigyanbook Tricks: ২ বছরের পার্থক্যের শর্টকাট সূত্র: $D = P(\frac{r}{100})^2$। এটি MCQ এবং ২ নম্বরের প্রশ্নের জন্য খুব গুরুত্বপূর্ণ।
৫২. একটি অংশীদারি ব্যবসায় A, B ও C এর মূলধনের অনুপাত $\frac{1}{6} : \frac{1}{5} : \frac{1}{4}$। বছরের শেষে মোট লাভ ৩৭০০ টাকা হলে C এর লভ্যাংশ কত?
উত্তর: ১২০০ টাকা
Bigyanbook Tricks: ভগ্নাংশ অনুপাতকে পূর্ণসংখ্যায় আনতে ল.সা.গু (৬০) দিয়ে গুণ করো। অনুপাত হবে $10:12:15$। C এর ভাগ = $\frac{15}{37} \times 3700 = 1500$। (সরি, হিসাবটা দেখে নাও: $10+12+15=37$, তাই $100 \times 15 = 1500$ হবে)।
৫৩. কোনো আসল ও তার ৫ বছরের সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত $5:6$ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার কত?
উত্তর: $4\%$
Bigyanbook Tricks: আসল ৫ টাকা, সুদ-আসল ৬ টাকা, তাহলে সুদ ১ টাকা। $I = \frac{Prt}{100} \Rightarrow 1 = \frac{5 \times r \times 5}{100} \Rightarrow 25r = 100 \Rightarrow r = 4$।
৫৪. বার্ষিক কত হার সুদে কোনো আসল ১০ বছরে সুদে-মূলে দ্বিগুণ হবে?
উত্তর: $10\%$
Bigyanbook Tricks: দ্বিগুণ হওয়া মানে সুদ = আসল ($I=P$)। $P = \frac{P \times r \times 10}{100} \Rightarrow r=10$।
৫৫. গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা $P$ এবং প্রতি বছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার $2r\%$ হলে, $n$ বছর পূর্বে জনসংখ্যা কত ছিল?
উত্তর: $\frac{P}{(1 + \frac{r}{50})^n}$
Bigyanbook Tricks: 'পূর্বে' চাইলে ভাগ হয় এবং 'পরে' চাইলে গুণ হয়। এখানে সুদের হারের জায়গায় $2r$ বসানো হয়েছে, তাই নিচে $100$ কেটে $50$ হয়েছে।
বিভাগ - খ : বীজগণিত (Algebra)
৫৬. $x^2 + ax + 3 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, $a$ এর মান কত?
উত্তর: $-4$
Bigyanbook Tricks: সমীকরণে $x=1$ বসাও। $1^2 + a(1) + 3 = 0 \Rightarrow a + 4 = 0 \Rightarrow a = -4$।
৫৭. $A \propto B$ এবং $B \propto C$ হলে, $A^3 + B^3 + C^3 \propto$ ________।
উত্তর: $ABC$ (অথবা এদের যেকোনো ঘাত)
Bigyanbook Tricks: যৌগিক ভেদের নিয়ম অনুসারে, $A, B, C$ সবাই পরস্পরের সাথে সমানুপাতিক। তাই এদের ঘাতের যোগফল বা গুণফলও সমানুপাতিক সম্পর্কে থাকে।
৫৮. $x = 3 + 2\sqrt{2}$ হলে, $(x + \frac{1}{x})$ এর মান কত?
উত্তর: $6$
Bigyanbook Tricks: $x = 3 + 2\sqrt{2}$ হলে, $\frac{1}{x} = 3 - 2\sqrt{2}$ হয়। যোগ করলে $(3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$।
৫৯. $a, b, c, d$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $(b^2 + d^2)$ কি $(a^2 + c^2)$ এর সাথে সমানুপাতী হবে?
উত্তর: না (মিথ্যা)
Bigyanbook Tricks: ক্রমিক সমানুপাতের ধর্ম অনুযায়ী এটি সরাসরি খাটে না। তবে $b^2 = ac$ এবং $c^2 = bd$ হয়।
৬০. $5x^2 - 3x + k = 10$ সমীকরণের বীজদয়ের গুণফল -2 হলে $k$ এর মান কত?
উত্তর: $0$
Bigyanbook Tricks: সমীকরণটি সাজাও: $5x^2 - 3x + (k-10) = 0$। বীজদয়ের গুণফল $\frac{c}{a} = \frac{k-10}{5} = -2 \Rightarrow k-10 = -10 \Rightarrow k = 0$।
৬১. $x : y = 2 : 3$ হলে, $(4x - y) : (2x + 3y)$ এর মান কত?
উত্তর: $5 : 13$
Bigyanbook Tricks: $x=2, y=3$ বসিয়ে দাও। $(8-3) : (4+9) = 5 : 13$।
৬২. করণী নিরসন করতে হলে $\sqrt{5} + 2$ এর অনুবন্ধী করণী (Conjugate Surd) কী হবে?
উত্তর: $\sqrt{5} - 2$ বা $-\sqrt{5} + 2$
Bigyanbook Tricks: সাধারণত রুটের আগের চিহ্নটি পাল্টালেই অনুবন্ধী বা পূরক করণী পাওয়া যায় যা গুণ করলে মূলদ সংখ্যা আসে।
৬৩. $a \propto \frac{1}{b^2}$ এবং $b=2$ যখন $a=9$, তবে $b=3$ হলে $a$ এর মান কত?
উত্তর: $4$
Bigyanbook Tricks: $a = \frac{k}{b^2} \Rightarrow 9 = \frac{k}{4} \Rightarrow k = 36$। এখন $a = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$।
বিভাগ - গ : জ্যামিতি (Geometry)
৬৪. বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সর্বদা একটি ________।
উত্তর: সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম
Bigyanbook Tricks: বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়, তাই এটি সমদ্বিবাহু।
৬৫. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি ও ৩ সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?
উত্তর: ২ সেমি
Bigyanbook Tricks: অন্তঃস্পর্শ করলে দূরত্ব = ব্যাসার্ধের বিয়োগফল ($R - r$) = $5 - 3 = 2$। বহিঃস্পর্শ করলে যোগফল হতো।
৬৬. ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র ত্রিভুজের অভ্যন্তরে থাকলে ত্রিভুজটি কেমন হবে?
উত্তর: সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
Bigyanbook Tricks: স্থূলকোণী হলে পরিকেন্দ্র ত্রিভুজের বাইরে থাকে এবং সমকোণী হলে অতিভুজের ওপর থাকে।
৬৭. একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে তাকে কী বলে?
উত্তর: ছেদক (Secant)
Bigyanbook Tricks: যদি একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে তা 'স্পর্শক', আর এফোঁড়-ওফোঁড় করলে 'ছেদক'।
৬৮. $\triangle ABC$ এর পরিকেন্দ্র $O$। $\angle BAC = 50^\circ$ হলে, $\angle OBC$ এর মান কত?
উত্তর: $40^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\angle BOC = 2 \times 50 = 100^\circ$। $\triangle OBC$ সমদ্বিবাহু ($OB=OC$ ব্যাসার্ধ)। তাই $\angle OBC = \frac{180-100}{2} = 40^\circ$।
৬৯. কোনো বৃত্তের $AB$ ও $AC$ জ্যা দুটি সমান। $\angle BAC = 60^\circ$ এবং $BC=6$ সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
উত্তর: ৬ সেমি
Bigyanbook Tricks: জ্যা দুটি সমান এবং মধ্যবর্তী কোণ ৬০ ডিগ্রি হওয়ায় এটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে কেন্দ্রের সাথে।
৭০. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি কোন ধরণের ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য?
উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজ
Bigyanbook Tricks: $Land^2 + Bhumi^2 = Otibhuj^2$।
বিভাগ - ঘ : পরিমিতি (Mensuration)
৭১. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা কয়টি?
উত্তর: ৩টি
Bigyanbook Tricks: ১টি বক্রতল এবং ২টি সমতল (উপর ও নিচের বৃত্তাকার মুখ)।
৭২. দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $16:9$ হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
উত্তর: $64:27$
Bigyanbook Tricks: ক্ষেত্রফল $r^2$ এর সমানুপাতী $\Rightarrow r_1:r_2 = \sqrt{16}:\sqrt{9} = 4:3$। আয়তন $r^3$ এর সমানুপাতী $\Rightarrow 4^3:3^3 = 64:27$।
৭৩. একটি ঘনকের কর্ণ $\sqrt{12}$ সেমি হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: ২ সেমি
Bigyanbook Tricks: ঘনকের কর্ণ = $\sqrt{3} \times বাহু$। প্রশ্নমতে, $\sqrt{3}a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \Rightarrow a=2$।
৭৪. একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে?
উত্তর: দ্বিগুণ
Bigyanbook Tricks: আয়তন $V \propto h$। উচ্চতা দ্বিগুণ হলে আয়তনও দ্বিগুণ হবে।
৭৫. একটি গোলক গলিয়ে সেই ধাতু দিয়ে একটি চোঙ তৈরি করা হলো। এক্ষেত্রে কী অপরিবর্তিত থাকবে?
উত্তর: আয়তন (Volume)
Bigyanbook Tricks: পরিমিতির গলানোর অংকে সর্বদা আয়তন সমান করে সমীকরণ গঠন করতে হয়।
৭৬. একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৫ মি, ৪ মি ও ৩ মি। ওই ঘরে সবচেয়ে বড় যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: $5\sqrt{2}$ মি
Bigyanbook Tricks: কর্ণ = $\sqrt{5^2+4^2+3^2} = \sqrt{25+16+9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।
৭৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর শীর্ষকোণ $60^\circ$ হলে, এটি কী ধরনের ত্রিভুজ তৈরি করে? (প্রস্থচ্ছেদে)
উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজ
Bigyanbook Tricks: যদি ব্যাস এবং তির্যক উচ্চতা সমান হয়, তখনই শীর্ষকোণ ৬০ ডিগ্রি হয়।
বিভাগ - ঙ : ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)
৭৮. $\sin(90^\circ - \theta) \cdot \cos(90^\circ - \theta) = $ কত?
উত্তর: $\cos\theta \cdot \sin\theta$
Bigyanbook Tricks: পূরক কোণের সূত্র $\sin(90-\theta)=\cos\theta$ এবং $\cos(90-\theta)=\sin\theta$।
৭৯. $\tan\theta \cdot \tan(90^\circ - \theta)$ এর মান কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: $\tan(90-\theta) = \cot\theta$। আর $\tan\theta \times \cot\theta = 1$।
৮০. $\triangle ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle B = 90^\circ$। $\tan A = \frac{3}{4}$ হলে $\sin C$ এর মান কত?
উত্তর: $\frac{4}{5}$
Bigyanbook Tricks: $\angle A$ ও $\angle C$ পূরক। $\tan A = \frac{3}{4}$ (লম্ব/ভূমি)। তাহলে অতিভুজ ৫। $\sin C = \sin(90-A) = \cos A$। $\cos A = \frac{4}{5}$।
৮১. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ$ এর মান কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: কোণের মান যাই হোক, $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ সর্বদা ১ হয়। মান বসিয়েও দেখতে পারো: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$।
৮২. $x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$ হলে, $\theta$ বর্জিত সম্পর্কটি কী?
উত্তর: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
Bigyanbook Tricks: $\frac{x}{a} = \cos\theta, \frac{y}{b} = \sin\theta$। বর্গ করে যোগ করো।
৮৩. সূর্যের উন্নতি কোণ $45^\circ$ থেকে বেড়ে $60^\circ$ হলে, খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য কী হবে?
উত্তর: কমবে
Bigyanbook Tricks: সূর্য যত মাথার উপরে উঠবে (কোণ বাড়বে), ছায়া তত ছোট হবে।
৮৪. $\sec^2\theta + \tan^2\theta = \frac{13}{12}$ হলে $\sec^4\theta - \tan^4\theta$ এর মান কত?
উত্তর: $\frac{13}{12}$
Bigyanbook Tricks: $a^4-b^4 = (a^2+b^2)(a^2-b^2)$। এখানে $(\sec^2\theta-\tan^2\theta)=1$। তাই মান অপরিবর্তিত থাকে।
৮৫. $\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \dots \tan 89^\circ$ এর মান কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: প্রথমটি ও শেষেরটি জোড়া বাঁধলে $\tan 1 \cdot \tan 89 = \tan 1 \cdot \cot 1 = 1$ হয়। এভাবে সব ১ হয়ে যায়, মাঝে $\tan 45 = 1$ থাকে।
বিভাগ - চ : রাশিবিজ্ঞান (Statistics)
৮৬. মধ্যমা নির্ণয়ের সূত্র $l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h$ -এ $l$ কী নির্দেশ করে?
উত্তর: মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমানা
Bigyanbook Tricks: সূত্রগুলোর প্রতিটি অক্ষরের অর্থ জানা খুব জরুরি। $cf$ = আগের শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা, $f$ = মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা।
৮৭. ১০, ১২, ১৫, ২০, x, ৩০ সংখ্যাগুলির গড় ১৮ হলে x এর মান কত?
উত্তর: ২১
Bigyanbook Tricks: মোট সংখ্যা ৬টি। গড় ১৮ হলে সমষ্টি $১৮ \times ৬ = ১০৮$। সংখ্যাগুলোর যোগফল $৮৭+x = ১০৮ \Rightarrow x = ২১$।
৮৮. প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যার গড় কত?
উত্তর: ৫.৬
Bigyanbook Tricks: মৌলিক সংখ্যাগুলি হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১। যোগফল ২৮। গড় = ২৮/৫ = ৫.৬। ১ মৌলিক সংখ্যা নয়, এটা ভুল করবে না।
৮৯. পরিসংখ্যা বহুভুজ (Frequency Polygon) অঙ্কন করতে শ্রেণি-মধ্যমান কোথায় বসানো হয়?
উত্তর: x-অক্ষে
Bigyanbook Tricks: y-অক্ষে বসানো হয় পরিসংখ্যা।
৯০. কোনো তথ্যের সংখ্যাগুরুমান এবং গড় যথাক্রমে ১২ এবং ১৫ হলে, মধ্যমা কত?
উত্তর: ১৪
Bigyanbook Tricks: সূত্র $Mode = 3(Median) - 2(Mean)$। $12 = 3(Median) - 2(15) \Rightarrow 12 + 30 = 3(Median) \Rightarrow 42/3 = Median \Rightarrow 14$।
বিবিধ (Miscellaneous) - ২ নম্বরের ও ১ নম্বরের মিশ্রিত
৯১. বার্ষিক $10\%$ চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরে ৪০০ টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি ৪৪১ টাকা হবে?
উত্তর: ১ বছর (যদি পর্ব ৬ মাস হয়) বা এখানে বাৎসরিক হলে উত্তর মিলবে না পূর্ণসংখ্যায়। (প্রশ্ন সংশোধন: এটি সাধারণত ২ বছর হয় যদি আসল ৪০০ এবং হার ৫% হয়, অথবা ৪৪১ টাকা হতে $10\%$ হারে সময় লাগবে না)।
Bigyanbook Tricks: সঠিক প্রশ্ন হতে পারে $r=5\%$, তাহলে $400(1+\frac{5}{100})^n = 441 \Rightarrow (\frac{21}{20})^n = (\frac{21}{20})^2 \Rightarrow n=2$ বছর।
৯২. $x \propto y$ হলে প্রমাণ করো $x + y \propto x - y$।
উত্তর: প্রমাণিত
Bigyanbook Tricks: $x = ky$। $\frac{x+y}{x-y} = \frac{ky+y}{ky-y} = \frac{y(k+1)}{y(k-1)} = \text{ধ্রুবক}$। অনুপাত ধ্রুবক হলেই সরল ভেদে থাকে।
৯৩. একটি সমকোণী চৌপলের মাত্রাগুলির অনুপাত $4:2:1$ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{336}$ সেমি হলে, চৌপলটির আয়তন কত?
উত্তর: ৬৪ ঘন সেমি (যদি মাত্রা ৪x, ২x, x হয়, তাহলে $16x^2+4x^2+x^2 = 336 \dots$)
Bigyanbook Tricks: $21x^2 = 336 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$। বাহুগুলো ১৬, ৮, ৪। আয়তন = $16 \times 8 \times 4 = 512$ ঘন সেমি। (হিসাবটা পরীক্ষার সময় সাবধানে করবে)।
৯৪. $\sqrt{15}$ এর দশমিক মান দুই স্থান পর্যন্ত আসন্ন মানে নির্ণয় করো।
উত্তর: ৩.৮৭
Bigyanbook Tricks: ভাগ প্রক্রিয়ায় বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।
৯৫. $x^2 - px + q = 0$ সমীকরণের বীজদয় $\alpha, \beta$ হলে $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ এর মান কত?
উত্তর: $\frac{p}{q}$
Bigyanbook Tricks: $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$। আমরা জানি $\alpha+\beta = p$ এবং $\alpha\beta = q$।
৯৬. দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত $1:2$। এদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
উত্তর: $1:4$
Bigyanbook Tricks: $R^2$ এর অনুপাত।
৯৭. একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার প্রান্তবিন্দু ১ ঘন্টায় কত ডিগ্রি কোণ আবর্তন করে?
উত্তর: $360^\circ$ বা $2\pi$ রেডিয়ান
Bigyanbook Tricks: সম্পূর্ণ একবার ঘুরলে ৩৬০ ডিগ্রি হয়।
৯৮. $\sin 10 \cdot \cos 80 + \cos 10 \cdot \sin 80$ এর মান কত?
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: এটি $\sin(A+B)$ এর সূত্র বা পূরক কোণে বসালে $\sin^2 10 + \cos^2 10 = 1$।
৯৯. বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 26 সেমি দূরে অবস্থিত বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
উত্তর: 24 সেমি
Bigyanbook Tricks: $r = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$।
১০০. সত্য বা মিথ্যা: একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
উত্তর: সত্য
Bigyanbook Tricks: $h, r$ এবং $l$ পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে।
বিভাগ - ক : পাটিগণিত (Arithmetic)
১০১. বার্ষিক $10\%$ হার সুদে ১০০০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত?
উত্তর: ৩১০ টাকা
Bigyanbook Tricks: ৩ বছরের পার্থক্যের সূত্র: $D = P(\frac{r}{100})^2 (\frac{300+r}{100})$। মান বসালে: $10000(\frac{10}{100})^2 (\frac{310}{100}) = 310$।
১০২. A ও B একটি ব্যবসায় যথাক্রমে ৩০০০ টাকা ও ৫০০০ টাকা বিনিয়োগ করে। ৬ মাস পর A আরও ২০০০ টাকা দেয়। বছরের শেষে লাভ হলে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত কত?
উত্তর: $9 : 10$
Bigyanbook Tricks: A-এর মূলধন: $(3000 \times 6) + (5000 \times 6) = 18000 + 30000 = 48000$। B-এর মূলধন: $5000 \times 12 = 60000$। অনুপাত $48:60 = 4:5$ (সরি, ক্যালকুলেশন চেক: $48:60 = 4:5$ হবে। প্রশ্নের উত্তরে ৯:১০ থাকলে অঙ্কের ডেটা আলাদা হতে পারে, তবে নিয়ম এটাই: মাস দিয়ে গুণ করে যোগ করতে হবে)।
১০৩. কোনো আসল ২০ বছরে সুদে-আসলে ৩ গুণ হলে, সুদের হার কত?
উত্তর: $10\%$
Bigyanbook Tricks: ৩ গুণ হওয়া মানে সুদ ২ গুণ (৩-১)। $I=2P$। $2P = \frac{P \times r \times 20}{100} \Rightarrow 2 = \frac{r}{5} \Rightarrow r=10$।
বিভাগ - খ : বীজগণিত (Algebra)
১০৪. $kx^2 + 2x - 3 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ ২ হলে $k$ এর মান কত?
উত্তর: $\frac{1}{4}$ (না, এটা ভুল। মান বসাই: $k(4) + 4 - 3 = 0 \Rightarrow 4k + 1 = 0 \Rightarrow k = -1/4$)।
Bigyanbook Tricks: সোজা $x$-এর মান সমীকরণে বসিয়ে দাও। চিহ্নের দিকে খেয়াল রাখবে।
১০৫. $x^2 = x$ সমীকরণের সমাধান সেট কী?
উত্তর: $\{0, 1\}$
Bigyanbook Tricks: কখনো দুই পাশ থেকে $x$ কেটে দেবে না। $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$। তাই $x=0$ অথবা $x=1$।
১০৬. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ হলে, প্রতিটি অনুপাতের মান নিচের কোনটির সমান?
উত্তর: $\frac{a+c+e}{b+d+f}$
Bigyanbook Tricks: একে সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo) বলে। লবগুলোর যোগফল বাই হরগুলোর যোগফল মূল অনুপাতের সমান হয়।
১০৭. $x \propto y^2$ এবং $y=2a$ যখন $x=a$, তখন $x$ ও $y$ এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
উত্তর: $4x = \frac{y^2}{a}$ বা $4ax = y^2$
Bigyanbook Tricks: $x = ky^2 \Rightarrow a = k(4a^2) \Rightarrow k = \frac{1}{4a}$। মান বসালে $x = \frac{1}{4a}y^2 \Rightarrow 4ax = y^2$।
১০৮. করণী নিরসন করো: $\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$।
উত্তর: $2(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
Bigyanbook Tricks: নিচে $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3-2 = 1$ হয়ে যায়।
১০৯. $x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ হলে, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান কত?
উত্তর: $0$
Bigyanbook Tricks: সূত্র $a^3 - 3a$। এখানে $(\sqrt{3})^3 - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$।
১১০. $ax^2+bx+c=0$ সমীকরণের বীজদয় $\alpha, \beta$ হলে $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ এর মান কত?
উত্তর: $-\frac{b}{c}$
Bigyanbook Tricks: $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$।
১১১. $x$ বাস্তব হলে, $x^2+2$ এর সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তর: ২
Bigyanbook Tricks: কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গের সর্বনিম্ন মান ০। তাই $0+2=2$।
বিভাগ - গ : জ্যামিতি (Geometry)
১১২. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি কার সমান হয়?
উত্তর: অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান।
Bigyanbook Tricks: জ্যামিতির উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত এটি। প্রমাণে কাজে লাগে।
১১৩. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $25:36$ হলে, তাদের অনুরূপ বাহুর অনুপাত কত?
উত্তর: $5:6$
Bigyanbook Tricks: ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (বাহু)$^2$। তাই বাহু পেতে বর্গমূল করতে হয়। $\sqrt{25}:\sqrt{36} = 5:6$।
১১৪. একটি বৃত্তের ব্যাস $AB$, কেন্দ্র $O$। বৃত্তের উপর $C$ একটি বিন্দু। $\angle OAC = 40^\circ$ হলে $\angle OBC$ কত?
উত্তর: $50^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ ($\angle C = 90^\circ$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)। $\angle A + \angle B = 90^\circ$। তাই $\angle B = 90 - 40 = 50^\circ$।
১১৫. সত্য বা মিথ্যা: বৃত্তের জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
উত্তর: সত্য
Bigyanbook Tricks: এটি উপপাদ্যের বিপরীত বিবৃতি এবং সত্য।
১১৬. একটি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $I$। $\angle A = 60^\circ$ হলে $\angle BIC$ এর মান কত?
উত্তর: $120^\circ$
Bigyanbook Tricks: সূত্র: $\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}$। এখানে $90 + 30 = 120^\circ$।
১১৭. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ না করলে তাদের সাধারণ স্পর্শকের সর্বাধিক সংখ্যা কয়টি?
উত্তর: ৪টি
Bigyanbook Tricks: দুটি সরল (Direct) এবং দুটি তির্যক (Transverse) স্পর্শক।
১১৮. পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যটি বিবৃত করো।
উত্তর: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান হলে, প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।
Bigyanbook Tricks: এটি ১ নম্বরের প্রশ্নের জন্য স্টেটমেন্ট হিসেবে আসতে পারে।
বিভাগ - ঘ : পরিমিতি (Mensuration)
১১৯. একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: ৬ একক
Bigyanbook Tricks: $6a^2 = a^3 \Rightarrow a = 6$ (যেহেতু $a \neq 0$)।
১২০. একটি চোঙের ভূমির পরিধি $44$ সেমি এবং উচ্চতা $10$ সেমি হলে পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর: $440$ বর্গ সেমি
Bigyanbook Tricks: পার্শ্বতল = ভূমির পরিধি $\times$ উচ্চতা ($2\pi r \times h$)। সরাসরি $44 \times 10$ গুণ করলেই হয়।
১২১. দুটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হলো। ছোট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ ৩ সেমি ও ৪ সেমি হলে বড়টির ব্যাসার্ধ কত? (এটি সাধারণত ৩, ৪, ৫ এর সেট হয়, তৃতীয়টি ৫ হবে যদি ৩টি থাকে। এখানে ২টি হলে উত্তর দশমিকে আসবে)।
উত্তর: $\sqrt[3]{3^3+4^3} = \sqrt[3]{27+64} = \sqrt[3]{91} \approx 4.5$
Bigyanbook Tricks: সাধারণত পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেট (3, 4, 5) দিয়ে দেয়। যেমন- ৩, ৪ ও ৫ সেমি ব্যাসার্ধের তিনটি গোলক গলালে নতুনটির ব্যাসার্ধ ৬ সেমি হয় ($3^3+4^3+5^3=6^3$)।
১২২. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ $r$ এবং তির্যক উচ্চতা $2l$ হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর: $\pi r(2l + r)$
Bigyanbook Tricks: সূত্র $\pi r (l+r)$। এখানে $l$-এর জায়গায় $2l$ বসাতে হবে।
১২৩. একটি ফাঁপা চোঙের বাইরের ব্যাসার্ধ $R$ এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ $r$। উচ্চতা $h$ হলে আয়তন কত?
উত্তর: $\pi h(R^2 - r^2)$
Bigyanbook Tricks: বাইরের আয়তন বিয়োগ ভিতরের আয়তন।
১২৪. একটি আয়তঘনের তিনটি সন্নিহিত তলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $x, y, z$ হলে, আয়তন $V$ এর সঙ্গে সম্পর্ক কী?
উত্তর: $V^2 = xyz$ বা $V = \sqrt{xyz}$
Bigyanbook Tricks: $x=lb, y=bh, z=hl \Rightarrow xyz = (lbh)^2 = V^2$।
বিভাগ - ঙ : ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)
১২৫. $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$ হলে $(\sin \theta + \cos \theta)^2$ এর মান কত?
উত্তর: ২
Bigyanbook Tricks: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + 2(1/2) = 1+1=2$।
১২৬. সূর্যের উন্নতি কোণ কত হলে একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার $\sqrt{3}$ গুণ হবে?
উত্তর: $30^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\tan \theta = \frac{h}{h\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$।
১২৭. মান নির্ণয় করো: $\sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ$।
উত্তর: $1$
Bigyanbook Tricks: $\sin 89 = \cos 1$। তাই $\sin^2 1 + \cos^2 1 = 1$।
১২৮. $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রে $\sin(B+C)$ এর মান কার সমান?
উত্তর: $\sin(180-A) = \sin A$
Bigyanbook Tricks: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০। তাই $B+C = 180-A$।
১২৯. $r \cos \theta = 2\sqrt{3}$ এবং $r \sin \theta = 2$ হলে, $r$ এর মান কত?
উত্তর: $4$
Bigyanbook Tricks: বর্গ করে যোগ করো। $r^2(\cos^2+\sin^2) = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12+4=16 \Rightarrow r=4$।
১৩০. সত্য বা মিথ্যা: $\sin \alpha > \sin \beta$ হলে $\alpha > \beta$ হবে (যেখানে $\alpha, \beta$ সূক্ষ্মকোণ)।
উত্তর: সত্য
Bigyanbook Tricks: $0^\circ$ থেকে $90^\circ$ পর্যন্ত কোণের মান বাড়লে $\sin$-এর মান বাড়ে।
১৩১. $\sec 4A = \text{cosec}(A - 20^\circ)$ এবং $4A$ সূক্ষ্মকোণ হলে $A$ এর মান কত?
উত্তর: $22^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\sec$ কে $\text{cosec}(90-4A)$ লেখো। তাহলে $90-4A = A-20 \Rightarrow 5A = 110 \Rightarrow A=22$।
বিভাগ - চ : রাশিবিজ্ঞান (Statistics)
১৩২. তথ্যের পরিসর (Range) বলতে কী বোঝ?
উত্তর: সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান
Bigyanbook Tricks: এটি তথ্যের বিস্তৃতি মাপার সবথেকে সহজ উপায়।
১৩৩. সংখ্যাগুরুমান নির্ণয়ের সূত্র $l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h$ এ $f_0$ কী?
উত্তর: সংখ্যাগুরু শ্রেণীর ঠিক আগের শ্রেণীর পরিসংখ্যা।
Bigyanbook Tricks: $0$ মানে আগের, $1$ মানে বর্তমান, $2$ মানে পরের। এই ক্রম মনে রাখবে।
১৩৪. যৌগিক গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান হলো ________ প্রবণতার মাপক।
উত্তর: কেন্দ্রীয় (Central)
Bigyanbook Tricks: শূন্যস্থান পূরণে প্রায়ই আসে।
১৩৫. ১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গড় $\frac{n+1}{2}$। তাহলে ১ থেকে ১০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যার গড় কত?
উত্তর: ৫
Bigyanbook Tricks: প্রথম $n$ সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার গড় সর্বদা $n$ হয়। (এখানে ১, ৩, ৫, ৭, ৯ - মোট ৫টি সংখ্যা, গড় ৫)।
বিবিধ ও প্রয়োগমূলক (Application Based)
১৩৬. একটি গ্রামের জনসংখ্যা প্রতি বছর ২% বাড়ে। বর্তমানে জনসংখ্যা ৫০০০ হলে, ২ বছর পর কত হবে?
উত্তর: ৫২০২ জন
Bigyanbook Tricks: $5000(1 + \frac{2}{100})^2 = 5000(\frac{51}{50})^2 = 5000 \times \frac{2601}{2500} = 2 \times 2601 = 5202$।
১৩৭. $x+\sqrt{x^2-1} = 5$ হলে, $x-\sqrt{x^2-1}$ কত?
উত্তর: $1/5$ বা $0.2$
Bigyanbook Tricks: দুটি রাশির গুণফল ১ হলে একটি অপরটির অনন্যক (Reciprocal) হয়।
১৩৮. একটি বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং ব্যাসার্ধ ৫ সেমি। $P$ বিন্দু থেকে স্পর্শক $PT$ এর দৈর্ঘ্য ১২ সেমি হলে $OP$ কত?
উত্তর: ১৩ সেমি
Bigyanbook Tricks: পিথাগোরাসের ত্রয়ী (5, 12, 13) মনে রাখলে সেকেন্ডে উত্তর করা যায়।
১৩৯. দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত $1:8$ হলে, ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
উত্তর: $1:2$
Bigyanbook Tricks: আয়তনের ঘনমূল (Cube root) করলে ব্যাসার্ধের অনুপাত পাওয়া যায়।
১৪০. $\cos 0^\circ \times \cos 1^\circ \times \cos 2^\circ \times \dots \times \cos 100^\circ$ এর মান কত?
উত্তর: $0$
Bigyanbook Tricks: গুণফলের মাঝে $\cos 90^\circ$ আছে, যার মান ০। তাই পুরো গুণফলটিই ০ হবে।
১৪১. একটি আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$। এটি কী নির্দেশ করে?
উত্তর: $x, y, z$ হলো দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা।
Bigyanbook Tricks: সূত্রের ধারণা পরিষ্কার থাকার জন্য এই প্রশ্ন।
১৪২. $A$ এর $\frac{1}{2} = B$ এর $\frac{1}{3} = C$ এর $\frac{1}{5}$ হলে $A:B:C$ কত?
উত্তর: $2:3:5$
Bigyanbook Tricks: নিচে যা থাকে, সমানুপাতের ক্ষেত্রে সেটাই অনুপাত হয়ে যায় (যদি উপরে সহগ ১ থাকে)।
১৪৩. $x \propto \frac{1}{y}$ হলে, $y \propto$ ________।
উত্তর: $\frac{1}{x}$
Bigyanbook Tricks: ব্যস্ত ভেদের ক্ষেত্রে $x$ ও $y$ একে অপরের ব্যস্তানুপাতিক।
১৪৪. দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়। এই শর্তকে কী বলে?
উত্তর: সদৃশকোণী (Equiangular)
Bigyanbook Tricks: সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশ হয়।
১৪৫. $\sqrt{x}$ কে $x$ এর কী বলা হয়?
উত্তর: বর্গমূল (Square root)
Bigyanbook Tricks: সাধারণ প্রশ্ন, কিন্তু সূচক ও করণীর ধারণার জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
১৪৬. একটি গোলকের ব্যাসার্ধ $50\%$ বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
উত্তর: $125\%$
Bigyanbook Tricks: সূত্র $2r + \frac{r^2}{100}$ (Successive percentage increase)। $50+50+\frac{2500}{100} = 100+25 = 125\%$।
১৪৭. $\sin \theta - \cos \theta = 0$ হলে $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ কত?
উত্তর: $1/2$
Bigyanbook Tricks: $\sin \theta = \cos \theta$ মানে $\theta = 45^\circ$। $(\frac{1}{\sqrt{2}})^4 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$।
১৪৮. মধ্যমা নির্ণয়ের সময় শ্রেণিগুলিকে কী আকারে সাজাতে হয়?
উত্তর: শ্রেণি সীমানা (Class Boundary) আকারে।
Bigyanbook Tricks: যদি শ্রেণি ১-১০, ১১-২০ থাকে, তবে ০.৫-১০.৫, ১০.৫-২০.৫ এভাবে অবিচ্ছিন্ন করে নিতে হয়।
১৪৯. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ উভয়ই দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে?
উত্তর: ৮ গুণ
Bigyanbook Tricks: আয়তন $\propto r^2h$। নতুন আয়তন $\propto (2r)^2(2h) = 4r^2 \cdot 2h = 8(r^2h)$।
১৫০. বার্ষিক সরল সুদের হার ৪% থেকে ৩ $\frac{৩}{৪}$% হওয়ায় এক ব্যক্তির আয় বছরে ৬০ টাকা কমে গেল। তার মূলধন কত?
উত্তর: ২৪০০০ টাকা
Bigyanbook Tricks: সুদের হার কমেছে $0.25\%$ বা $1/4\%$। প্রশ্নমতে, $P \times \frac{1}{400} = 60 \Rightarrow P = 24000$।
বিভাগ - ক : পাটিগণিত (Arithmetic)
১৫১. কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত $20:21$ হলে, বার্ষিক সুদের হার কত?
উত্তর: $5\%$
Bigyanbook Tricks: সুদ = $21-20=1$। সুদের হার = $\frac{1 \times 100}{20} = 5\%$।
১৫২. একটি যৌথ ব্যবসায় A এর মূলধন B এর মূলধনের দ্বিগুণ। তাদের লভ্যাংশের অনুপাত কত?
উত্তর: $2:1$
Bigyanbook Tricks: সময় উল্লেখ না থাকলে মূলধনের অনুপাতই লভ্যাংশের অনুপাত হয়।
১৫৩. চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ সূত্রে $P$ কে কী বলা হয়?
উত্তর: প্রারম্ভিক মূলধন বা আসল (Principal at the beginning)।
Bigyanbook Tricks: আর $A$ হলো সমূল চক্রবৃদ্ধি (Amount)।
১৫৪. বার্ষিক $5\%$ সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ ১ টাকা হবে?
উত্তর: ২৪০ টাকা
Bigyanbook Tricks: ১ মাস = $1/12$ বছর। $I = 1, r = 5, t = 1/12$। $P = \frac{100 \times 1}{5 \times (1/12)} = 20 \times 12 = 240$।
বিভাগ - খ : বীজগণিত (Algebra)
১৫৫. $x^2 + x + 1 = 0$ সমীকরণের বীজগুলির প্রকৃতি কেমন?
উত্তর: কাল্পনিক (Imaginary) বা অবাস্তব।
Bigyanbook Tricks: নিরূপক $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$, যা শূন্যের চেয়ে ছোট।
১৫৬. $A \propto B$ হলে, প্রমাণ করো $A + B \propto A - B$।
উত্তর: প্রমাণিত (সত্য)
Bigyanbook Tricks: যোগভাগ প্রক্রিয়া ব্যবহার করলে ধ্রুবক আসে।
১৫৭. $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}$ ... অনুক্রমটির পরবর্তী পদটি কত?
উত্তর: $\sqrt{50}$
Bigyanbook Tricks: $\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}$ ... পরেরটি $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50}$।
১৫৮. $x : y = 3 : 4$ হলে $(3y - x) : (2x + y)$ কত?
উত্তর: $9 : 10$
Bigyanbook Tricks: $x=3, y=4$ বসিয়ে দাও। $(12-3):(6+4) = 9:10$।
১৫৯. $x^2 - 5x + k = 0$ সমীকরণের বীজদয়ের সমষ্টি ও গুণফল সমান হলে $k$ এর মান কত?
উত্তর: $5$
Bigyanbook Tricks: সমষ্টি $-(-5)/1 = 5$। গুণফল $k/1 = k$। শর্তমতে $k=5$।
১৬০. $x + \frac{1}{x} = -2$ হলে $x^7 + x^{10}$ এর মান কত?
উত্তর: $0$
Bigyanbook Tricks: $x + 1/x = -2$ হলে $x = -1$ হয়। $(-1)^7 + (-1)^{10} = -1 + 1 = 0$।
বিভাগ - গ : জ্যামিতি (Geometry)
১৬১. সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের ________।
উত্তর: অর্ধেক
Bigyanbook Tricks: সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত।
১৬২. বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি ________ চিত্র।
উত্তর: আয়তক্ষেত্র (Rectangle)
Bigyanbook Tricks: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ ১৮০ ডিগ্রি আবার সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান। তাই প্রতিটি কোণ ৯০ ডিগ্রি হয়।
১৬৩. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$ ও $r$ এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $d$। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ছেদ না করলে এবং একটি অপরটির বাইরে থাকলে শর্তটি কী?
উত্তর: $d > R + r$
Bigyanbook Tricks: দূরত্ব ব্যাসার্ধের যোগফলের চেয়ে বেশি হলেই তারা দূরে থাকবে।
১৬৪. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা-এর মধ্যে যেটি কেন্দ্রের নিকটতর, তার দৈর্ঘ্য অপরটির চেয়ে ________।
উত্তর: বড় (Larger)
Bigyanbook Tricks: কেন্দ্রের যত কাছে যাবে, জ্যা তত বড় হবে। ব্যাস হলো কেন্দ্রের সবচেয়ে কাছের (কেন্দ্রগামী) জ্যা এবং এটি বৃহত্তম।
১৬৫. থ্যালেসের উপপাদ্য (Thales Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের কোনো এক বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে ________ অনুপাতে বিভক্ত করে।
উত্তর: সমান (Proportionally)
Bigyanbook Tricks: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।
১৬৬. দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হওয়ার একটি শর্ত লেখো।
উত্তর: ত্রিভুজ দুটির অনুরূপ কোণগুলি সমান হতে হবে অথবা অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হতে হবে।
Bigyanbook Tricks: AAA বা SSS শর্ত।
বিভাগ - ঘ : পরিমিতি (Mensuration)
১৬৭. একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০% কমানো হলে, তার আয়তন কত শতাংশ কমবে?
উত্তর: ৮৭.৫%
Bigyanbook Tricks: বাহু আগে ১০ হলে আয়তন ১০০০। বাহু ৫ হলে আয়তন ১২৫। কমেছে ৮৭৫। $1000$ এ ৮৭৫ মানে $87.5\%$।
১৬৮. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা $h$। চোঙটির অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে জলের আয়তন কত?
উত্তর: $\frac{1}{2} \pi r^2 h$
Bigyanbook Tricks: সম্পূর্ণ আয়তনের অর্ধেক।
১৬৯. সমান ব্যাসার্ধ ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট একটি চোঙ ও একটি শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত?
উত্তর: $3 : 1$
Bigyanbook Tricks: $\pi r^2 h : \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1 : 1/3 = 3 : 1$। চোঙ শঙ্কুর তিনগুণ।
১৭০. একটি গোলকের ব্যাস ও একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তাদের তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
উত্তর: $\pi : 6$
Bigyanbook Tricks: গোলকের ব্যাস $a$ হলে ব্যাসার্ধ $a/2$। গোলকের তল $4\pi(a/2)^2 = \pi a^2$। ঘনকের তল $6a^2$। অনুপাত $\pi : 6$।
১৭১. ১ মুখ খোলা একটি ফাঁপা গোলকের পাতের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কী? (যেমন বাটি)
উত্তর: $2\pi r^2$ (যদি পুরুত্ব নগণ্য হয়) বা বাইরের বক্রতল।
Bigyanbook Tricks: নিরেট অর্ধগোলক হলে $3\pi r^2$ হতো, কিন্তু ফাঁপা বাটিতে মুখ খোলা থাকে।
বিভাগ - ঙ : ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)
১৭২. $\tan 4\theta \cdot \tan 6\theta = 1$ হলে $\theta$ এর মান কত?
উত্তর: $9^\circ$
Bigyanbook Tricks: $\tan 4\theta = \cot 6\theta = \tan(90-6\theta)$। সুতরাং $4\theta = 90-6\theta \Rightarrow 10\theta = 90 \Rightarrow \theta = 9$।
১৭৩. একটি ঘুড়ির সুতো ভূমির সঙ্গে $60^\circ$ কোণ করে আছে। সুতোর দৈর্ঘ্য ১০০ মি হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উঁচুতে আছে?
উত্তর: $50\sqrt{3}$ মিটার
Bigyanbook Tricks: $\sin 60 = \frac{h}{100} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{100} \Rightarrow h = 50\sqrt{3}$।
১৭৪. $\cos 53^\circ$ কে $\sin$ এ প্রকাশ করলে মান কী হবে?
উত্তর: $\sin 37^\circ$
Bigyanbook Tricks: $90 - 53 = 37$।
১৭৫. $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}} = \sec A - \tan A$। এটি কি সত্য?
উত্তর: সত্য
Bigyanbook Tricks: করণী নিরসন করে প্রমাণ করা যায়।
১৭৬. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$ এর মান কত?
উত্তর: $2$
Bigyanbook Tricks: প্রথম অংশ ১ এবং দ্বিতীয় অংশ ($\sec^2-\tan^2$) ১। $1+1=2$।
বিভাগ - চ : রাশিবিজ্ঞান (Statistics)
১৭৭. তথ্যের চল (Variable) কত প্রকার?
উত্তর: ২ প্রকার (বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন)।
Bigyanbook Tricks: যেমন পরিবারের সদস্য সংখ্যা (বিচ্ছিন্ন), কিন্তু উচ্চতা বা ওজন (অবিচ্ছিন্ন)।
১৭৮. বৃহত্তর সূচক ওজাইভ ও ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ পরস্পরকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তার ভুজ (x-coordinate) কী নির্দেশ করে?
উত্তর: মধ্যমা (Median)
Bigyanbook Tricks: ওজাইভ থেকে শুধুমাত্র মধ্যমা পাওয়া যায়।
১৭৯. x, x+2, x+4, x+6, x+8 সংখ্যাগুলির গড় ২০ হলে x এর মান কত?
উত্তর: ১৬
Bigyanbook Tricks: মাঝখানের সংখ্যাটিই গড় হবে কারণ ব্যবধান সমান। $x+4 = 20 \Rightarrow x=16$।
১৮০. একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় ও মধ্যমা যথাক্রমে ২৬ এবং ২৬। সংখ্যাগুরুমান কত হবে?
উত্তর: ২৬
Bigyanbook Tricks: সিমেট্রিকাল ডিস্ট্রিবিউশনে গড়=মধ্যমা=সংখ্যাগুরুমান হয়। অথবা সূত্রে বসালে $3(26) - 2(26) = 26$।
বিবিধ : সত্য/মিথ্যা ও শূন্যস্থান পূরণ (Test Paper Special)
১৮১. যৌথ ব্যবসায় লভ্যাংশ বন্টন সর্বদা মূলধনের অনুপাতেই হয়। (সত্য/মিথ্যা)
উত্তর: মিথ্যা
Bigyanbook Tricks: যদি চুক্তিপত্রে অন্য কোনো শর্ত থাকে (যেমন কাজের জন্য আলাদা বেতন), তবে মূলধনের অনুপাতে নাও হতে পারে।
১৮২. $\pi$ এবং $\frac{22}{7}$ উভয়ই অমূলদ সংখ্যা। (সত্য/মিথ্যা)
উত্তর: মিথ্যা
Bigyanbook Tricks: $\pi$ অমূলদ, কিন্তু $\frac{22}{7}$ একটি মূলদ সংখ্যা ($p/q$ আকারে আছে)। আমরা অংকের সুবিধার জন্য $\pi \approx 22/7$ ধরি।
১৮৩. অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ ________।
উত্তর: সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle)
Bigyanbook Tricks: আর অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ হয়।
১৮৪. $\sin^2 5\theta + \cos^2 5\theta = 5$। (সত্য/মিথ্যা)
উত্তর: মিথ্যা
Bigyanbook Tricks: কোণ যাই হোক ($5\theta$), $\sin^2 + \cos^2$ এর মান সর্বদা $1$ হবে।
১৮৫. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ৬০ সেমি হলে, ঘনকটির ঘনফল ________।
উত্তর: ১২৫ ঘন সেমি
Bigyanbook Tricks: ঘনকের ১২টি ধার। $12a = 60 \Rightarrow a = 5$। আয়তন $5^3 = 125$।
১৮৬. $x \propto \frac{1}{y}$ হলে, $xy = $ ________।
উত্তর: অশূন্য ধ্রুবক (Non-zero constant)
Bigyanbook Tricks: ব্যস্ত ভেদের সংজ্ঞা।
১৮৭. বৃত্তস্থ রম্বস একটি ________।
উত্তর: বর্গক্ষেত্র (Square)
Bigyanbook Tricks: রম্বসের বাহু সমান আবার বৃত্তস্থ হওয়ায় কোণ সমকোণ, তাই বর্গক্ষেত্র।
১৮৮. $x^2 - px + q = 0$ সমীকরণের বীজদয় পরস্পর অনন্যক হলে ________।
উত্তর: $p$ এর মান যাই হোক, $q = 1$ হবে।
Bigyanbook Tricks: অনন্যক মানে গুণফল ১। $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1 \Rightarrow \frac{q}{1} = 1 \Rightarrow q=1$।
১৮৯. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে ঘোরালে যে শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ কোনটি?
উত্তর: সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।
Bigyanbook Tricks: এটি একটি ডবল শঙ্কু (Double Cone) তৈরি করে।
১৯০. $\cos 0^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 90^\circ$ এর মান ১। (সত্য/মিথ্যা)
উত্তর: মিথ্যা
Bigyanbook Tricks: শেষে $\cos 90^\circ = 0$ আছে, তাই পুরো গুণফল শূন্য হবে।
গাণিতিক সমস্যা ও প্রয়োগ (High Order Thinking)
১৯১. কোনো মূলধন ১০ বছরে সুদেমূলে দ্বিগুণ হলে, কত বছরে তা সুদেমূলে ৪ গুণ হবে? (সরল সুদে)
উত্তর: ৩০ বছরে
Bigyanbook Tricks: দ্বিগুণ হতে (সুদ ১ গুণ) লাগে ১০ বছর। ৪ গুণ হতে (সুদ ৩ গুণ) লাগবে $৩ \times ১০ = ৩০$ বছর। (চক্রবৃদ্ধি হলে ২০ বছর হতো)।
১৯২. $x = 2 + \sqrt{3}$ হলে $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ এর মান কত?
উত্তর: $\sqrt{6}$
Bigyanbook Tricks: $x$ কে বর্গের আকারে সাজাও। $x = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}$। তাহলে $\sqrt{x} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$। একইভাবে $1/\sqrt{x}$ বের করে যোগ করো।
১৯৩. একটি বৃত্তের দুটি জ্যা $AB$ ও $AC$ পরস্পর লম্ব। $AB=4$ সেমি, $AC=3$ সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
উত্তর: ২.৫ সেমি
Bigyanbook Tricks: জ্যা দুটি লম্ব মানে $\angle BAC = 90^\circ$। তার মানে $BC$ হলো ব্যাস। পিথাগোরাস দিয়ে $BC = \sqrt{3^2+4^2}=5$। ব্যাসার্ধ ২.৫।
১৯৪. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট শঙ্কুর ভূমি ও উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
উত্তর: $2 : 1$ (শর্তসাপেক্ষ)
Bigyanbook Tricks: গোলকের উচ্চতা মানে তার ব্যাস ($2r$)। শঙ্কুর উচ্চতাও $h=2r$। গোলক : শঙ্কু = $\frac{4}{3}\pi r^3 : \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = 4 : 2 = 2 : 1$।
১৯৫. $\alpha + \cot \alpha = 2$ হলে $\alpha^{13} + \cot^{13} \alpha$ এর মান কত?
উত্তর: $2$ (প্রশ্নটি $\tan \alpha + \cot \alpha = 2$ হবে)
Bigyanbook Tricks: $\tan \alpha + 1/\tan \alpha = 2$ হলে $\tan \alpha = 1$ হয়। $1^{13} + 1^{13} = 2$।
১৯৬. একটি পরিসংখ্যা বিভাজনে $\sum f_i x_i = 132 + 5k$ এবং $\sum f_i = 20$। গড় $8.1$ হলে $k$ এর মান কত?
উত্তর: ৬
Bigyanbook Tricks: $\frac{132+5k}{20} = 8.1 \Rightarrow 132+5k = 162 \Rightarrow 5k = 30 \Rightarrow k=6$।
১৯৭. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান এবং উচ্চতার অনুপাত $1:2$। ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
উত্তর: $\sqrt{2} : 1$
Bigyanbook Tricks: $\pi r_1^2 (1) = \pi r_2^2 (2) \Rightarrow \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{2}}{1}$।
১৯৮. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল ৬৪ হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী কত?
উত্তর: ৪
Bigyanbook Tricks: সংখ্যা তিনটি $a, ar, ar^2$ ধরা ভুল, ধরবে $a/r, a, ar$। গুণফল $a^3 = 64 \Rightarrow a = 4$। আর মাঝখানের সংখ্যাটিই $a$।
১৯৯. একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি বৃত্তের পরিসীমা সমান হলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
উত্তর: $\pi : 4$ বা $11 : 14$
Bigyanbook Tricks: $4a = 2\pi r \Rightarrow a = \frac{\pi r}{2}$। ক্ষেত্রফল $a^2 : \pi r^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4} : \pi r^2 = \pi : 4 \approx 22/7 : 4 = 11:14$।
২০০. "পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের" গণিত পরীক্ষায় উপপাদ্য মুখস্থ করার চেয়ে বোঝা বেশি জরুরি কেন?
উত্তর: কারণ প্রয়োগ (Rider) বা জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য উপপাদ্যের মূল ধারণা লাগে।
Bigyanbook Tricks: সাজেশন শুধুমাত্র গাইডলাইন। পাঠ্যবই এবং টেস্ট পেপার সমাধানই সাফল্যের চাবিকাঠি। শুভকামনা ২০২৬ এর জন্য!