শতকরা অঙ্ক | Percentage Math - Short Cut Method

প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য গণিত একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এর মধ্যে Percentage বা শতকরা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ টপিক, যা থেকে প্রায় সব পরীক্ষাতেই প্রশ্ন আসে। আজ আমরা দেখব কিভাবে Percentage-এর কঠিন সমস্যাগুলো ৩০ সেকেন্ডের মধ্যে সমাধান করা যায়।

শর্টকাট পদ্ধতি ১: ভিত্তি পরিবর্তন (Base Change)

অনেক সময় প্রশ্নে এমন দুটি রাশির তুলনা করতে বলা হয় যেখানে ভিত্তির পরিবর্তন হয়। যেমন, 'A, B এর থেকে ২৫% বেশি, তাহলে B, A এর থেকে কত শতাংশ কম?'

উদাহরণ ১:

প্রশ্ন: যদি A এর আয় B এর আয় থেকে 20% বেশি হয়, তবে B এর আয় A এর আয় থেকে কত শতাংশ কম?

সমাধান:

ধরা যাক, B এর আয় = 100 টাকা।

তাহলে, A এর আয় = 100 + 100 এর 20% = 100 + 20 = 120 টাকা।

এখন, B এর আয় A এর আয় থেকে কত কম? = 120 - 100 = 20 টাকা কম।

এই ২০ টাকা কম কার সাপেক্ষে? A এর সাপেক্ষে (কারণ প্রশ্ন করেছে 'A এর আয় থেকে কত শতাংশ কম')।

শতাংশ কম = $\frac{20}{120} \times 100$%

= $\frac{1}{6} \times 100$%

= $16\frac{2}{3}$%

শর্টকাট সূত্র:

যদি একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার থেকে R% বেশি হয়, তবে দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যা থেকে কম হবে:

$$\frac{R}{100+R} \times 100$$%

এই ক্ষেত্রে, R = 20।

সুতরাং, $\frac{20}{100+20} \times 100$% = $\frac{20}{120} \times 100$% = $16\frac{2}{3}$%।

এই পদ্ধতিতে আপনি মাত্র কয়েক সেকেন্ডে উত্তর বের করতে পারবেন।

উদাহরণ ২:

প্রশ্ন: চিনির দাম 25% বৃদ্ধি পেলে, একটি পরিবারকে চিনির ব্যবহার কত শতাংশ কমাতে হবে যাতে খরচ অপরিবর্তিত থাকে?

সমাধান:

এখানে R = 25% (বৃদ্ধির হার)।

শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করে:

$$\frac{R}{100+R} \times 100$$%

= $\frac{25}{100+25} \times 100$%

= $\frac{25}{125} \times 100$%

= $\frac{1}{5} \times 100$%

= 20%।

সুতরাং, চিনির ব্যবহার 20% কমাতে হবে।

শর্টকাট পদ্ধতি ২: একাধিক শতাংশ পরিবর্তন (Successive Percentage Change)

যখন কোনো রাশির ওপর পর পর একাধিক শতাংশ পরিবর্তন (বৃদ্ধি বা হ্রাস) হয়, তখন এই পদ্ধতি কার্যকর।

উদাহরণ ৩:

প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা প্রতি বছর 10% বৃদ্ধি পায়। যদি বর্তমান জনসংখ্যা 20,000 হয়, তবে 2 বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:

প্রথম বছরের শেষে জনসংখ্যা = $20,000 + 20,000 \times \frac{10}{100}$ = 20,000 + 2,000 = 22,000।

দ্বিতীয় বছরের শেষে জনসংখ্যা = $22,000 + 22,000 \times \frac{10}{100}$ = 22,000 + 2,200 = 24,200।

শর্টকাট সূত্র:

যদি কোনো রাশির মান P হয় এবং এটি প্রথম বছর $R_1$% এবং দ্বিতীয় বছর $R_2$% বৃদ্ধি পায় (অথবা হ্রাস পায়), তবে চূড়ান্ত মান হবে:

$$P \times \left(1 \pm \frac{R_1}{100}\right) \times \left(1 \pm \frac{R_2}{100}\right)$$

(এখানে + চিহ্ন বৃদ্ধির জন্য এবং - চিহ্ন হ্রাসের জন্য)।

আমাদের ক্ষেত্রে, P = 20,000, $R_1$ = 10, $R_2$ = 10 (উভয়ই বৃদ্ধি)।

2 বছর পর জনসংখ্যা = $20,000 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right) \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)$

= $20,000 \times \left(\frac{110}{100}\right) \times \left(\frac{110}{100}\right)$

= $20,000 \times 1.1 \times 1.1$

= $20,000 \times 1.21$

= 24,200।

এই পদ্ধতিটি কম্পাউন্ড ইন্টারেস্টের (চক্রবৃদ্ধি সুদের) ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

উদাহরণ ৪:

প্রশ্ন: একটি মেশিনের দাম প্রতি বছর 10% হ্রাস পায়। যদি মেশিনের বর্তমান দাম 1,00,000 টাকা হয়, তবে 3 বছর পর মেশিনের দাম কত হবে?

সমাধান:

এখানে P = 1,00,000, R = 10% (হ্রাস)। সময়কাল = 3 বছর।

3 বছর পর দাম = $1,00,000 \times \left(1 - \frac{10}{100}\right) \times \left(1 - \frac{10}{100}\right) \times \left(1 - \frac{10}{100}\right)$

= $1,00,000 \times \left(\frac{90}{100}\right) \times \left(\frac{90}{100}\right) \times \left(\frac{90}{100}\right)$

= $1,00,000 \times 0.9 \times 0.9 \times 0.9$

= $1,00,000 \times 0.729$

= 72,900 টাকা।

এই ধরনের সমস্যাগুলো দ্রুত সমাধানের জন্য শতাংশের ভগ্নাংশ মান (Fractional Value) মনে রাখা খুব সহায়ক।

• 10% = $\frac{1}{10}$
• 20% = $\frac{1}{5}$
• 25% = $\frac{1}{4}$
• $16\frac{2}{3}$% = $\frac{1}{6}$

শর্টকাট পদ্ধতি ৩: শতাংশের সমতুল্য প্রভাব (Net Effect of Percentage Change)

যখন একটি সংখ্যাকে প্রথমে x% বাড়ানো হয় এবং তারপর y% কমানো হয়, অথবা উভয়ই বাড়ানো বা কমানো হয়, তখন সামগ্রিক শতাংশ পরিবর্তন বের করার জন্য এই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ ৫:

প্রশ্ন: একটি পণ্যের দাম প্রথমে 20% বাড়ানো হলো এবং তারপর 10% কমানো হলো। পণ্যের দামে মোট কত শতাংশ পরিবর্তন হলো?

সমাধান:

ধরা যাক, পণ্যের আসল দাম = 100 টাকা।

20% বাড়ানোর পর দাম = $100 + 100 \times \frac{20}{100}$ = 120 টাকা।

এখন 10% কমানো হলো (নতুন দাম 120 এর উপর)।

10% কমানোর পর দাম = $120 - 120 \times \frac{10}{100}$ = 120 - 12 = 108 টাকা।

মোট পরিবর্তন = 108 - 100 = 8 টাকা বৃদ্ধি।

শতাংশ পরিবর্তন = $\frac{8}{100} \times 100$% = 8% বৃদ্ধি।

শর্টকাট সূত্র:

যদি একটি সংখ্যাকে প্রথমে x% বাড়ানো হয় এবং তারপর y% কমানো হয়, তবে নিট শতাংশ পরিবর্তন হবে:

$$x - y - \frac{xy}{100}$$%

যদি উভয়ই বৃদ্ধি পায়, সূত্র হবে: $x + y + \frac{xy}{100}$%

যদি উভয়ই হ্রাস পায়, সূত্র হবে: $-x - y + \frac{xy}{100}$% (এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন হ্রাসের নির্দেশক)

আমাদের ক্ষেত্রে, x = +20 (বৃদ্ধি), y = -10 (হ্রাস)।

নিট পরিবর্তন = $20 - 10 - \frac{20 \times 10}{100}$%

= $10 - \frac{200}{100}$%

= $10 - 2$%

= 8%। (ধনাত্মক মান বৃদ্ধির নির্দেশক)।

উদাহরণ ৬:

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 20% বৃদ্ধি করা হলো এবং প্রস্থ 20% হ্রাস করা হলো। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলে মোট কত শতাংশ পরিবর্তন হবে?

সমাধান:

এখানে x = +20 (দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি), y = -20 (প্রস্থ হ্রাস)।

নিট পরিবর্তন = $x - y - \frac{xy}{100}$%

= $20 - 20 - \frac{20 \times 20}{100}$%

= $0 - \frac{400}{100}$%

= -4%।

ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে যে ক্ষেত্রফল 4% হ্রাস পাবে।

এই শর্টকাট পদ্ধতিগুলো ব্যবহার করে আপনি Percentage-এর বিভিন্ন সমস্যা খুব দ্রুত সমাধান করতে পারবেন, যা আপনাকে প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় অন্যদের থেকে এগিয়ে রাখবে। নিয়মিত অনুশীলন সাফল্যের চাবিকাঠি।

শর্টকাট পদ্ধতি ৪: ভগ্নাংশ পদ্ধতি (Fraction Method)

এই পদ্ধতিটি Percentage-এর সমস্যা দ্রুত সমাধানের জন্য অত্যন্ত শক্তিশালী। এখানে আমরা শতাংশের মানকে সরাসরি ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করে গণনা করি। এটি বিশেষ করে যখন একাধিক শতাংশ পরিবর্তন বা তুলনামূলক বৃদ্ধির/হ্রাসের কথা আসে, তখন খুব কার্যকর হয়।

গুরুত্বপূর্ণ ভগ্নাংশ মান (Important Fractional Values):

• 10% = $\frac{1}{10}$
• 20% = $\frac{1}{5}$
• 25% = $\frac{1}{4}$
• 50% = $\frac{1}{2}$
• $33\frac{1}{3}$% = $\frac{1}{3}$
• $16\frac{2}{3}$% = $\frac{1}{6}$
• $12\frac{1}{2}$% = $\frac{1}{8}$
• $14\frac{2}{7}$% = $\frac{1}{7}$

উদাহরণ ৭:

প্রশ্ন: যদি পেট্রোলের দাম 25% বৃদ্ধি পায়, তাহলে একজন গাড়ির মালিককে তার পেট্রোলের ব্যবহার কত শতাংশ কমাতে হবে যাতে তার খরচ অপরিবর্তিত থাকে?

সমাধান:

পেট্রোলের দাম 25% বৃদ্ধি পায়। 25% এর ভগ্নাংশ মান = $\frac{1}{4}$।

এর অর্থ হলো, যদি আসল দাম 4 একক হয়, তবে 1 একক বৃদ্ধি পেয়ে নতুন দাম হবে $4+1=5$ একক।

খরচ অপরিবর্তিত রাখতে হলে, দামের অনুপাত যা হবে, ব্যবহারের অনুপাত তার বিপরীত হতে হবে।

• আসল দাম : নতুন দাম = 4 : 5
• আসল ব্যবহার : নতুন ব্যবহার = 5 : 4

ব্যবহার কমাতে হবে $5-4=1$ একক।

শতাংশ হ্রাস = $\frac{\text{যতটুকু কমানো হয়েছে}}{\text{আসল ব্যবহার}} \times 100$%

= $\frac{1}{5} \times 100$% = 20%।

এই পদ্ধতিটি আগের শর্টকাট সূত্র $\frac{R}{100+R} \times 100$% এর একটি স্বজ্ঞাত রূপ।

উদাহরণ ৮:

প্রশ্ন: একটি পণ্যের দাম প্রথমে 10% বৃদ্ধি পেল এবং তারপর 20% বৃদ্ধি পেল। মোট শতাংশ বৃদ্ধি কত?

সমাধান:

প্রথম বৃদ্ধি: 10% = $\frac{1}{10}$। অর্থাৎ, দাম 10 থেকে 11 হলো। (10+1)

দ্বিতীয় বৃদ্ধি: 20% = $\frac{1}{5}$। অর্থাৎ, দাম 5 থেকে 6 হলো। (5+1)

আসল দামের অনুপাত : নতুন দামের অনুপাত

প্রথম বৃদ্ধি: $10 \to 11$

দ্বিতীয় বৃদ্ধি: $5 \to 6$

মোট প্রভাব পেতে অনুপাতগুলো গুণ করুন:

$(10 \times 5) \to (11 \times 6)$

$50 \to 66$

মোট বৃদ্ধি = $66-50=16$ একক।

শতাংশ বৃদ্ধি = $\frac{16}{50} \times 100$% = $16 \times 2$% = 32%।

এই পদ্ধতিটি একাধিক পরিবর্তনকে একবারে হিসাব করতে সাহায্য করে এবং ভুল হওয়ার সম্ভাবনা কমায়।

শর্টকাট পদ্ধতি ৫: ভেন ডায়াগ্রাম পদ্ধতি (Venn Diagram Method) - সেট-ভিত্তিক Percentage এর জন্য

যখন একাধিক গ্রুপের মধ্যে সম্পর্ক এবং শতাংশ দেওয়া থাকে, তখন ভেন ডায়াগ্রাম পদ্ধতি খুবই কার্যকর হয়, বিশেষ করে "হয় এইটা নয় ওইটা" ধরনের প্রশ্নে।

উদাহরণ ৯:

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় 70% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে পাস করেছে এবং 65% শিক্ষার্থী গণিতে পাস করেছে। যদি 27% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে, তাহলে কত শতাংশ শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করেছে?

সমাধান:

এখানে ফেলের ডেটা দেওয়া আছে, তাই আমরা প্রথমে পাসের ডেটাকে ফেলে রূপান্তরিত করব বা সরাসরি পাসের ডেটা নিয়ে কাজ করব।

• ইংরেজিতে পাস = 70%, তাহলে ইংরেজিতে ফেল = $100-70=30$%
• গণিতে পাস = 65%, তাহলে গণিতে ফেল = $100-65=35$%
• উভয় বিষয়ে ফেল = 27%

ভেন ডায়াগ্রামের সূত্র ব্যবহার করে (ফেলের জন্য):

কোনো না কোনো বিষয়ে ফেল = (শুধুমাত্র ইংরেজিতে ফেল) + (শুধুমাত্র গণিতে ফেল) + (উভয় বিষয়ে ফেল)

অথবা, সহজ সূত্র: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

এখানে, A = ইংরেজিতে ফেল, B = গণিতে ফেল।

কমপক্ষে একটি বিষয়ে ফেল (Total Failed) = (ইংরেজিতে ফেল) + (গণিতে ফেল) - (উভয় বিষয়ে ফেল)

= $30\% + 35\% - 27\%$

= $65\% - 27\%$

= 38%।

সুতরাং, মোট 38% শিক্ষার্থী অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে।

যদি 38% শিক্ষার্থী অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করে, তাহলে উভয় বিষয়ে পাস করেছে = $100\% - 38\% = 62\%$।

বিকল্প পদ্ধতি (পাসের ডেটা ব্যবহার করে):

ধরা যাক, উভয় বিষয়ে পাস = $x$%।

• শুধুমাত্র ইংরেজিতে পাস = $(70-x)$%
• শুধুমাত্র গণিতে পাস = $(65-x)$%

মোট পাস করা শিক্ষার্থীর শতাংশ = (শুধুমাত্র ইংরেজিতে পাস) + (শুধুমাত্র গণিতে পাস) + (উভয় বিষয়ে পাস)

= $(70-x) + (65-x) + x$

= $135-x$%

যেহেতু 27% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তাহলে $100-27=73$% শিক্ষার্থী অন্তত একটি বিষয়ে পাস করেছে।

সুতরাং, $135-x = 73$

$x = 135-73$

$x = 62$%।

উদাহরণ ১০:

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 60% শিক্ষার্থী ফুটবল পছন্দ করে, 50% ক্রিকেট পছন্দ করে। যদি 15% শিক্ষার্থী কোনো খেলাই পছন্দ না করে, তাহলে কত শতাংশ শিক্ষার্থী উভয় খেলা পছন্দ করে?

সমাধান:

• ফুটবল পছন্দ করে = 60%
• ক্রিকেট পছন্দ করে = 50%
• কোনো খেলা পছন্দ করে না = 15%

তাহলে, অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থী = $100\% - 15\% = 85$%।

আমরা জানি, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

এখানে A = ফুটবল পছন্দ করে, B = ক্রিকেট পছন্দ করে।

$85\% = 60\% + 50\% - P(\text{উভয়})$

$85\% = 110\% - P(\text{উভয়})$

$P(\text{উভয়}) = 110\% - 85\%$

$P(\text{উভয়}) = 25\%$।

সুতরাং, 25% শিক্ষার্থী উভয় খেলা পছন্দ করে।

এই পদ্ধতিগুলো সঠিকভাবে আয়ত্ত করতে পারলে আপনি Percentage-এর যেকোনো সমস্যা অল্প সময়ের মধ্যে সমাধান করতে পারবেন। মনে রাখবেন, নিয়মিত অনুশীলন আপনাকে আরও দ্রুত এবং নির্ভুল করে তুলবে।

শর্টকাট পদ্ধতি ৬: জনসংখ্যা/ভোটের সমস্যায় অনুপাত পদ্ধতি (Ratio Method for Population/Election Problems)

জনসংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাস, অথবা নির্বাচনের ফলাফল সংক্রান্ত সমস্যাগুলিতে, যেখানে পর পর কয়েক বছর ধরে বা বিভিন্ন প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের শতাংশ দেওয়া থাকে, সেখানে অনুপাত পদ্ধতি ব্যবহার করে খুব দ্রুত সমাধান করা যায়। এই পদ্ধতিটি ভগ্নাংশ পদ্ধতিরই একটি এক্সটেনশন, তবে এটি ধাপগুলো আরও স্পষ্ট করে তোলে।

উদাহরণ ১১: জনসংখ্যা বৃদ্ধি

প্রশ্ন: একটি গ্রামের জনসংখ্যা প্রথম বছর 10% বৃদ্ধি পায়, দ্বিতীয় বছর 20% বৃদ্ধি পায়। যদি 2 বছর পর গ্রামের জনসংখ্যা 19,800 হয়, তবে প্রথম দিকে জনসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:

প্রথম বছরের বৃদ্ধি: 10%। ভগ্নাংশে = $\frac{1}{10}$। এর অর্থ, যদি শুরুতে 10 জন থাকে, তবে বৃদ্ধির পর হবে $10+1=11$ জন।

দ্বিতীয় বছরের বৃদ্ধি: 20%। ভগ্নাংশে = $\frac{1}{5}$। এর অর্থ, যদি শুরুতে 5 জন থাকে, তবে বৃদ্ধির পর হবে $5+1=6$ জন।

এবার আমরা অনুপাতের মাধ্যমে আসল জনসংখ্যা এবং 2 বছর পরের জনসংখ্যার সম্পর্ক স্থাপন করব:

আসল জনসংখ্যা : নতুন জনসংখ্যা

প্রথম বছর: $10 \to 11$

দ্বিতীয় বছর: $5 \to 6$

মোট প্রভাব পেতে উভয় অনুপাতের বাম দিক এবং ডান দিক গুণ করুন:

$(10 \times 5) \to (11 \times 6)$

$50 \to 66$

এর অর্থ হলো, যদি আসল জনসংখ্যা 50 একক হয়, তবে 2 বছর পর তা 66 একক হবে।

প্রশ্নে দেওয়া আছে, 2 বছর পর জনসংখ্যা 19,800।

সুতরাং, 66 একক = 19,800 জন।

1 একক = $\frac{19,800}{66}=300$ জন।

আসল জনসংখ্যা = 50 একক = $50 \times 300 = 15,000$ জন।

উদাহরণ ১২: নির্বাচনের ভোট গণনা

প্রশ্ন: একটি নির্বাচনে দুজন প্রার্থী ছিল। 20% ভোটার ভোট দেননি। প্রদত্ত ভোটের 10% বাতিল বলে গণ্য করা হয়েছিল। বিজয়ী প্রার্থী বৈধ ভোটের 60% পেয়েছেন এবং তিনি 28,800 ভোটের ব্যবধানে জিতেছেন। মোট ভোটারের সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:

ধরা যাক, মোট ভোটার = 100 একক।

1. 20% ভোটার ভোট দেননি।

   ভোট দিয়েছেন = $100-20=80$ একক।

   অনুপাত: $100 \to 80$ (বা $5 \to 4$)

2. প্রদত্ত ভোটের 10% বাতিল।

   বৈধ ভোট = প্রদত্ত ভোটের $100-10=90$%।

   অনুপাত: $10 \to 9$

3. বিজয়ী প্রার্থী বৈধ ভোটের 60% পেয়েছেন।

   বিজয়ী প্রার্থী পেয়েছেন = 60%।

   পরাজিত প্রার্থী পেয়েছেন = $100-60=40$%।

   বিজয়ী প্রার্থীর ভোটের ব্যবধান = $60\% - 40\% = 20$% (বৈধ ভোটের)।

   এই 20% এর ভগ্নাংশ মান = $\frac{1}{5}$।

এবার সব অনুপাত একসাথে গুণ করে নিট প্রভাব বের করি। ধরা যাক মোট ভোটার $X$ জন।

ভোটের ব্যবধান = $X \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) \times \left(1 - \frac{10}{100}\right) \times \left(\frac{20}{100}\right)$

$28,800 = X \times \frac{80}{100} \times \frac{90}{100} \times \frac{20}{100}$

$28,800 = X \times \frac{4}{5} \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{5}$

$28,800 = X \times \frac{36}{250}$

$X = \frac{28,800 \times 250}{36}$

$X = 800 \times 250$

$X = 2,00,000$ জন।

মোট ভোটারের সংখ্যা ছিল 2,00,000 জন।

এই পদ্ধতিটি বড় সংখ্যা এবং একাধিক শতাংশ পরিবর্তনের সমস্যাগুলোতে নির্ভুল ও দ্রুত সমাধান পেতে সাহায্য করে। এটি জটিল সমস্যাগুলোকে ছোট ছোট ধাপে ভেঙে সমাধান করার সুবিধা দেয়।

এই অতিরিক্ত শর্টকাট পদ্ধতিগুলো আপনার Percentage-এর জ্ঞানকে আরও সমৃদ্ধ করবে এবং প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য আপনাকে আরও ভালোভাবে প্রস্তুত করবে। নিয়মিত অনুশীলন অবশ্যই করবেন!