Probability (সম্ভাবনা): সম্পূর্ণ গাইড ও ৫০টি প্রশ্ন-উত্তর - Bigyanbook
স্বাগতম Bigyanbook-এ। গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ এবং স্কোরিং অধ্যায় হলো Probability বা সম্ভাবনা। আজ আমরা এই অধ্যায়ের খুঁটিনাটি আলোচনা করব। এই পোস্টে ৫০টি বিভিন্ন লেভেলের প্রশ্ন ও তার বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হয়েছে।
মোবাইলে দেখার সময় যদি অঙ্ক কেটে যায় পুরোটা না আসে তাহলে আপনার ফোনটা রোটেট করে নেবেন।অধ্যায় পরিচিতি ও সূত্রাবলী (Key Concepts & Formulae)
অংক শুরু করার আগে নিচের সূত্রগুলো ভালো করে দেখে নিন:
1. গাণিতিক সংজ্ঞা: যদি $S$ নমুনা দেশ এবং $E$ একটি ঘটনা হয়, তবে $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$।
2. Addition Theorem: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
3. Mutually Exclusive (পরস্পর বিচ্ছিন্ন): যদি $A \cap B = \phi$ হয়, তবে $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$।
4. Independent Events (স্বাধীন ঘটনা): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$।
5. Conditional Probability: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$।
বিভাগ ১: প্রাথমিক ধারণা ও সেট তত্ত্ব (Basic to Intermediate Level)
Q.1: একটি নিখুঁত কয়েন তিনবার টস করা হলো। ঠিক দুটি Head পড়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
নমুনা দেশ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$। মোট $n(S) = 8$।
ঘটনা $E$ (ঠিক দুটি Head) = $\{HHT, HTH, THH\}$। সুতরাং $n(E) = 3$।
সুতরাং, $P(E) = \frac{3}{8}$।
Q.2: একটি লিপ ইয়ার (Leap Year) বছরে ৫৩টি রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
লিপ ইয়ার = ৩৬৬ দিন = ৫২ সপ্তাহ + ২ দিন। ৫২ সপ্তাহে ৫২টি রবিবার নিশ্চিত। বাকি ২ দিন হতে পারে: (শনি, রবি), (রবি, সোম), (সোম, মঙ্গল), (মঙ্গল, বুধ), (বুধ, বৃহঃ), (বৃহঃ, শুক্র), (শুক্র, শনি)। মোট ৭টি কেস।
রবিবার আছে ২টিতে: (শনি, রবি) এবং (রবি, সোম)।
সুতরাং, $P = \frac{2}{7}$।
Q.3: $P(A) = 0.4, P(B) = 0.5$ এবং $P(A \cap B) = 0.25$ হলে $P(A \cup B)$ কত?
সমাধান:
আমরা জানি, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$= 0.4 + 0.5 - 0.25 = 0.9 - 0.25 = 0.65$।
Q.4: তাসের প্যাকেট থেকে একটি তাস তুললে সেটি রাজা (King) অথবা রানী (Queen) হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট তাস ৫২টি। রাজা আছে ৪টি, রানী আছে ৪টি। এরা পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা।
$P(K \cup Q) = P(K) + P(Q) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$।
Q.5: দুটি ছক্কা চাললে প্রাপ্ত অংকদ্বয়ের যোগফল ৭ অথবা ১১ হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট নমুনা $n(S) = 36$।
যোগফল ৭: $\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$ (৬টি)।
যোগফল ১১: $\{(5,6), (6,5)\}$ (২টি)।
মোট অনুকূল ঘটনা = $6 + 2 = 8$টি।
$P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$।
Q.6: 'MATHEMATICS' শব্দের অক্ষরগুলো থেকে একটি অক্ষর বেছে নিলে সেটি স্বরবর্ণ (Vowel) হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট অক্ষর ১১টি। Vowels: A, E, A, I (৪টি)।
$P(\text{Vowel}) = \frac{4}{11}$।
Q.7: যদি $P(A) = 3/5$ এবং $P(B) = 1/5$ হয় এবং A ও B পরস্পর বিচ্ছিন্ন (Mutually Exclusive) হয়, তবে $P(A \text{ or } B)$ কত?
সমাধান:
বিচ্ছিন্ন ঘটনার ক্ষেত্রে $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
Q.8: একটি থলিতে ৫টি সাদা ও ৭টি কালো বল আছে। দুটি বল একসাথে তুললে দুটিই কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট বল ১২টি। দুটি কালো বল তোলার উপায় ${}^{7}C_2$।
মোট উপায় ${}^{12}C_2$।
$P = \frac{{}^{7}C_2}{{}^{12}C_2} = \frac{21}{66} = \frac{7}{22}$।
Q.9: A এবং B দুটি ঘটনা যেন $P(A)=0.42, P(B)=0.48$ এবং $P(A \cap B)=0.16$। $P(\text{not A})$ নির্ণয় করো।
সমাধান:
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.42 = 0.58$।
Q.10: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্য থেকে একটি সংখ্যা নিলে সেটি ৩ অথবা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
৩ এর গুণিতক: $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ (৬টি)।
৫ এর গুণিতক: $\{5, 10, 15, 20\}$ (৪টি)।
কমন (উভয়): $\{15\}$ (১টি)।
$P(3 \cup 5) = \frac{6}{20} + \frac{4}{20} - \frac{1}{20} = \frac{9}{20}$।
বিভাগ ২: Conditional & Independent Events
Q.11: যদি $P(A) = 0.8, P(B) = 0.5$ এবং $P(B|A) = 0.4$ হয়, তবে $P(A \cap B)$ কত?
সমাধান:
সূত্র: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = 0.8 \times 0.4 = 0.32$।
Q.12: A একটি অঙ্ক সমাধান করতে পারে তার সম্ভাবনা $1/2$ এবং B পারে $1/3$। তারা স্বাধীনভাবে চেষ্টা করলে অঙ্কটি সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
অঙ্কটি সমাধান হবে = $1 - P(\text{কেউই পারবে না})$।
$P(A') = 1 - 1/2 = 1/2$, $P(B') = 1 - 1/3 = 2/3$।
$P(\text{Solve}) = 1 - (1/2 \times 2/3) = 1 - 1/3 = 2/3$।
Q.13: একটি পরিবারে দুটি শিশু আছে। জানা আছে যে অন্তত একটি শিশু মেয়ে। তবে দুটি শিশুই মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
নমুনা দেশ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$।
ধরি $E =$ অন্তত একটি মেয়ে = $\{BG, GB, GG\}$।
$F =$ দুটিই মেয়ে = $\{GG\}$।
$P(F|E) = \frac{n(F \cap E)}{n(E)} = \frac{1}{3}$।
Q.14: ৫২টি তাসের প্যাকেট থেকে পুনঃস্থাপন না করে (without replacement) পরপর দুটি তাস টানা হলো। দুটিই টেক্কা (Ace) হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
$P(\text{1st Ace}) = 4/52$।
$P(\text{2nd Ace | 1st Ace}) = 3/51$।
$P(\text{Both Ace}) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$।
Q.15: $P(A \cup B) = 0.6, P(A) = 0.2$। যদি A এবং B স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে $P(B)$ এর মান কত?
সমাধান:
স্বাধীন হলে $P(A \cap B) = P(A)P(B)$।
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$
$0.6 = 0.2 + P(B) - 0.2P(B)$
$0.4 = 0.8 P(B) \Rightarrow P(B) = 0.5$।
Q.16: একটি বক্সে ১০টি কালো এবং ৫টি সাদা বল আছে। দুটি বল একে একে তোলা হলো (পুনঃস্থাপন করে)। একটি কালো ও অন্যটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট বল ১৫। কালো $P(B) = 10/15 = 2/3$, সাদা $P(W) = 5/15 = 1/3$।
ঘটনা দুটি হতে পারে: (কালো, সাদা) অথবা (সাদা, কালো)।
$P = (2/3 \times 1/3) + (1/3 \times 2/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9$।
Q.17: A সত্য কথা বলে ৭৫% ক্ষেত্রে এবং B সত্য কথা বলে ৮০% ক্ষেত্রে। একই বিষয়ে তাদের বক্তব্যের মধ্যে বৈপরীত্য (Contradict) হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
$P(A) = 3/4, P(A') = 1/4$।
$P(B) = 4/5, P(B') = 1/5$।
Contradict হবে যদি: (A সত্য, B মিথ্যা) অথবা (A মিথ্যা, B সত্য) হয়।
$P = P(A)P(B') + P(A')P(B) = (3/4 \times 1/5) + (1/4 \times 4/5) = 3/20 + 4/20 = 7/20$।
Q.18: একটি ছক্কা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলো। অন্তত একবার ৬ পড়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
$P(\text{At least one 6}) = 1 - P(\text{No 6})$।
একবার নিক্ষেপে ৬ না পড়ার সম্ভাবনা $5/6$।
তিনবার নিক্ষেপে ৬ না পড়ার সম্ভাবনা $(5/6)^3 = 125/216$।
উত্তর: $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$।
Q.19: Odds in favor of an event is 2:3. সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
অনুকূলে সুযোগ ২, প্রতিকূলে ৩। মোট ৫।
$P(E) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$।
Q.20: তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা A, B, C এর জন্য $2P(A) = 3P(B) = P(C)$ এবং $P(A \cup B \cup C) = 1$ হলে $P(B)$ কত?
সমাধান:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$।
ধরি $P(B) = x$, তাহলে $P(A) = 1.5x, P(C) = 3x$।
$1.5x + x + 3x = 1 \Rightarrow 5.5x = 1 \Rightarrow x = 1/5.5 = 2/11$।
$\therefore P(B) = 2/11$।
বিভাগ ৩: Advanced Questions
Q.21: একটি থলিতে ৫টি লাল এবং ৩টি নীল বল আছে। যদি ৩টি বল যদৃচ্ছভাবে তোলা হয়, তবে ঠিক দুটি লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
$P = \frac{{}^{5}C_2 \times {}^{3}C_1}{{}^{8}C_3} = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$।
Q.22: (Bayes' Theorem) তিনটি মেশিন A, B, C যথাক্রমে মোট উৎপাদনের ২৫%, ৩৫% এবং ৪০% উৎপাদন করে। তাদের ত্রুটিপূর্ণ (Defective) উৎপাদনের হার যথাক্রমে ৫%, ৪% এবং ২%। একটি পণ্য দৈবচয়ন করলে সেটি ত্রুটিপূর্ণ পাওয়া গেল। পণ্যটি মেশিন B দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
$P(B) = 0.35, P(D|B) = 0.04$।
Total Defective $P(D) = (0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02) = 0.0125 + 0.0140 + 0.0080 = 0.0345$।
$P(B|D) = \frac{P(B)P(D|B)}{P(D)} = \frac{0.0140}{0.0345} = \frac{140}{345} = \frac{28}{69}$।
Q.23: একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে ৮ বার টস করা হলো। ঠিক ৫ বার Head পড়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
Bernoulli Trials এর সূত্র: $P(X=r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r}$।
এখানে $n=8, r=5, p=1/2, q=1/2$।
$P(X=5) = {}^{8}C_5 (1/2)^5 (1/2)^3 = 56 \times (1/2)^8 = \frac{56}{256} = \frac{7}{32}$।
Q.24: একটি বাক্সে ১ থেকে ১০ নম্বর লেখা ১০টি কার্ড আছে। দুটি কার্ড একসাথে তুললে তাদের যোগফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
যোগফল জোড় হবে যদি দুটিই জোড় হয় অথবা দুটিই বিজোড় হয়।
জোড় সংখ্যা ৫টি, বিজোড় ৫টি।
$P = \frac{{}^{5}C_2 + {}^{5}C_2}{{}^{10}C_2} = \frac{10 + 10}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$।
Q.25: যদি $A$ এবং $B$ দুটি ঘটনা হয় এবং $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ হয়, তবে $P(A)$ এবং $P(B)$ এর সম্পর্ক কী?
সমাধান:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A \cap B)$
$\Rightarrow P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$।
এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন $P(A) = P(B)$।
Q.26: 7 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ঠিক 2 জন মহিলা থাকবে। সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট মানুষ ১১ জন। মোট উপায় ${}^{11}C_6$।
অনুকূল উপায়: ${}^{4}C_2 \times {}^{7}C_4$ (২ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষ)।
$P = \frac{6 \times 35}{462} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11}$।
Q.27: $A$ এবং $B$ স্বাধীন ঘটনা। $P(A \cup B)$ বের করার সূত্র কী?
সমাধান:
$P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = 1 - P(A')P(B')$।
Q.28: দুটি পাশা গড়িয়ে দিলে তাদের গুণফল পূর্ণবর্গ (Perfect Square) হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
নমুনা ক্ষেত্র ৩৬টি। গুণফল পূর্ণবর্গ: $(1,1)=1, (1,4)=4, (2,2)=4, (3,3)=9, (4,1)=4, (4,4)=16, (5,5)=25, (6,6)=36$।
মোট ৮টি ঘটনা। $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$।
Q.29: INTERMEDIATE শব্দটির অক্ষরগুলো এলোমেলো সাজালে সবকটি স্বরবর্ণ (Vowels) পাশাপাশি থাকার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট অক্ষর ১২টি। Vowels: I, E, E, I, A, E (৬টি)। Consonants: N, T, R, M, D, T (৬টি)।
মোট বিন্যাস: $\frac{12!}{2!3!2!}$ (I-2, E-3, T-2)।
Vowels একত্রে থাকলে তাদের ১টি ধরি। মোট বস্তু $6+1=7$।
অনুকূল বিন্যাস: $\frac{7!}{2!} \times \frac{6!}{2!3!}$।
হিসাব করলে পাওয়া যাবে: $\frac{1}{132}$।
Q.30: একটি দ্বিপদ বিভাজনে (Binomial Distribution) গড় (Mean) = 4 এবং ভেদমান (Variance) = 3। $P(X=1)$ কত?
সমাধান:
$np = 4, npq = 3 \Rightarrow q = 3/4 \Rightarrow p = 1/4 \Rightarrow n = 16$।
$P(X=1) = {}^{16}C_1 (1/4)^1 (3/4)^{15} = 16 \times \frac{1}{4} \times (0.75)^{15} = 4(0.75)^{15}$।
বিভাগ ৪: Rapid Fire Practice Questions (31-50)
Q.31: নিশ্চিত ঘটনার পূরক ঘটনার সম্ভাবনা কত?
উত্তর: 0।
Q.32: $P(A|B) > P(A)$ হলে, $P(B|A)$ এবং $P(B)$ এর সম্পর্ক কী?
উত্তর: $P(B|A) > P(B)$।
Q.33: তাস থেকে একটি কার্ড তুললে সেটি কালো রাজা হওয়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $2/52 = 1/26$।
Q.34: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপে (H, 5) পড়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $1/2 \times 1/6 = 1/12$।
Q.35: যদি $A \subset B$ হয়, তবে $P(A|B)$ কত?
উত্তর: $P(A)/P(B)$।
Q.36: যদি $P(A \cap B) = 0$ হয়, তবে ঘটনা দুটি কেমন?
উত্তর: Mutually Exclusive (পরস্পর বিচ্ছিন্ন)।
Q.37: ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে একটি সংখ্যা ৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: ১৪টি সংখ্যা আছে $(14 \times 7 = 98)$। $P = 14/100 = 7/50$।
Q.38: দুটি পাশা নিক্ষেপে দুটিতেই জোড় সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $P(\text{Even}) \times P(\text{Even}) = 1/2 \times 1/2 = 1/4$।
Q.39: PROBABILITY শব্দ থেকে একটি অক্ষর নিলে সেটি B হওয়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $2/11$।
Q.40: $P(A) = 0.3, P(B) = 0.6$। স্বাধীন হলে $P(A \text{ and not } B)$?
উত্তর: $0.3 \times 0.4 = 0.12$।
Q.41: তিনটি কয়েনে সবকটি Tail পড়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $1/8$।
Q.42: একটি বাক্সে ৩টি লাল বল আছে। নীল বল তোলার সম্ভাবনা?
উত্তর: ০ (অসম্ভব ঘটনা)।
Q.43: $P(E) + P(\text{not } E) = ?$
উত্তর: 1।
Q.44: $52$ টি তাস থেকে ফেস কার্ড (Face card) তোলার সম্ভাবনা?
উত্তর: $12/52 = 3/13$।
Q.45: একটি ছক্কা চাললে সংখ্যাটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $\{2, 3, 5\}$ অর্থাৎ $3/6 = 1/2$।
Q.46: একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা $120\%$ হতে পারে কি?
উত্তর: না, সম্ভাবনা সর্বোচ্চ ১ বা ১০০% হতে পারে।
Q.47: A এবং B বিচ্ছিন্ন হলে $P(A|B)$ কত?
উত্তর: ০।
Q.48: দুটি কয়েন টসে সর্বোচ্চ একটি Head পাওয়ার সম্ভাবনা?
উত্তর: $\{TT, HT, TH\}$, অর্থাৎ $3/4$।
Q.49: একটি লটারিতে ১০টি প্রাইজ এবং ২৫টি ব্ল্যাঙ্ক (খালি) টিকেট আছে। একটি টিকেট দৈবচয়ন করলে প্রাইজ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
এখানে, পুরস্কারযুক্ত টিকেট = ১০টি এবং খালি টিকেট = ২৫টি।
সুতরাং, মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা $n(S) = 10 + 25 = 35$।
পুরস্কার পাওয়ার অনুকূল ঘটনা $n(E) = 10$।
$\therefore$ প্রাইজ পাওয়ার সম্ভাবনা $P(E) = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$।
Q.50: যদি $P(A) = 0.4$ এবং $P(A \cup B) = 0.7$ হয় এবং ঘটনা A ও B স্বাধীন (Independent) হয়, তবে $P(B)$ এর মান কত?
সমাধান:
ধরি, $P(B) = x$।
যেহেতু A ও B স্বাধীন, তাই $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.4x$।
আমরা জানি, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$\Rightarrow 0.7 = 0.4 + x - 0.4x$
$\Rightarrow 0.7 - 0.4 = 0.6x$
$\Rightarrow 0.3 = 0.6x$
$\Rightarrow x = \frac{0.3}{0.6} = \frac{1}{2} = 0.5$।
উত্তর: $P(B) = 0.5$।
আশা করি Probability বা সম্ভাবনার এই ৫০টি প্রশ্ন ও সমাধান আপনাদের প্রস্তুতিতে সাহায্য করবে। আপনার কোনো প্রশ্ন থাকলে নীচে কমেন্ট করতে পারেন। নিয়মিত ভিজিট করুন Bigyanbook ওয়েবসাইটে।
